Câu 1:
a, cho dãy số $13;25;...;3(n^{2}+n)+7...$ ( n là số nguyên dương)
CM: không có số hạng nào của dãy là lập phương của 1 số tự nhiên.
b, Cho x;y;z là ba số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$
CM: x+y là số chính phương.
c,Tìm đa thức $F(x)=x^{2}+ax+b$ biết với mọi $x \epsilon \left [ -1;1 \right ]$ thì $\left | F(x) \right |\leq \frac{1}{2}$.
Câu 2:
a, Giải hệ phương trình sau:$\left\{\begin{matrix} x+\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=3 & & \\ & & \\ y- \frac{y-3x}{x^{2}+y^{2}}=0& & \end{matrix}\right.$
b, Giải phương trình sau: $2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}$
Câu 3:
a,Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
$y^{3}z^{2}+(y^{3}-2xy)z+x(x-y)=0$
b,Cho a,b,c>0. CM:
$\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$
Câu 4:
1, Cho hình chữ nhật ABCD(AB=a;AD=b) nội tiếp (O;R). M là điểm chuyển động trên cung nhỏ AD của (O;R). Gọi K;Q;P lần lượt là hình chiếu vuông góc của c trên BM, của B trên CM và M trên BC. Gọi E là trung điểm QK, N là trung điểm BC.
a, CM: OM vuông KQ.
b, CM: ME$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$=2ON.MN.
c, Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác KPQ lớn nhất.
2, Cho tam giác ABC có các đường cao là số tự nhiên và có bán kính đường tròn nội tiếp =1. CM: tam giác ABC đều.
Câu 5: Cho a,b,c thỏa mãn $4a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 4$.
CM: $ab+bc+ac\leq 1+\sqrt{3}$.
Câu 6:Trong hình chữ nhật kích thước 1x2 ta lấy $6n^{2}+1$ điểm với n là số nguyên dương. CM: tồn tại 1 điểm tại hình tròn có bán kính $\frac{1}{n}$ chứa không ít hơn 4 trong số các điểm đã cho.