Đến nội dung

Hình ảnh

$a\leq b\leq c$, $ab^{2}c^{3}\geq 1$

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Cho $ a, b, c$ là các số thực dương thoả $a+ b+ c= \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}$. CMR nếu $a\leq b\leq c$ thì $ab^{2}c^{3}\geq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 17-01-2018 - 10:43


#2
hoicmvsao

hoicmvsao

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Deleted


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoicmvsao: 19-01-2018 - 22:07


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Từ giả thiết suy ra: $0=\frac{a^2-1}{a}+\frac{b^2-1}{b}+\frac{c^2-1}{c}\geqslant (a^2-1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\Rightarrow a^2-1\leqslant 0\Rightarrow 0<a\leqslant 1$

$\Rightarrow \frac{a^2-1}{a}=(b+c)(\frac{1}{bc}-1)\leqslant 0\Rightarrow \frac{1}{bc}\leqslant 1\Rightarrow bc\geqslant 1(1)$

Tương tự: $0=\frac{a^2-1}{a}+\frac{b^2-1}{b}+\frac{c^2-1}{c}\leqslant (c^2-1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\Rightarrow c\geqslant 1\Rightarrow \frac{c^2-1}{c}=(a+b)(\frac{1}{ab}-1)\geqslant 0\Rightarrow ab\leqslant 1\Rightarrow 2(\frac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab})\geqslant \frac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab}$

Vậy, ta được: $c-\frac{1}{c}=(a+b)(\frac{1}{ab}-1)\geqslant 2\sqrt{ab}(\frac{1}{ab}-1)=2(\frac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab})\geqslant \frac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab}\Rightarrow (c\sqrt{ab}-1)(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{c})\geqslant 0\Rightarrow c\sqrt{ab}\geqslant 1\Rightarrow abc^2\geqslant 1 (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $ab^2c^3\geqslant 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 18-12-2021 - 17:24

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh