Cho $ a, b, c$ là các số thực dương thoả $a+ b+ c= \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}$. CMR nếu $a\leq b\leq c$ thì $ab^{2}c^{3}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 17-01-2018 - 10:43
Cho $ a, b, c$ là các số thực dương thoả $a+ b+ c= \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}$. CMR nếu $a\leq b\leq c$ thì $ab^{2}c^{3}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 17-01-2018 - 10:43
Deleted
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoicmvsao: 19-01-2018 - 22:07
Từ giả thiết suy ra: $0=\frac{a^2-1}{a}+\frac{b^2-1}{b}+\frac{c^2-1}{c}\geqslant (a^2-1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\Rightarrow a^2-1\leqslant 0\Rightarrow 0<a\leqslant 1$
$\Rightarrow \frac{a^2-1}{a}=(b+c)(\frac{1}{bc}-1)\leqslant 0\Rightarrow \frac{1}{bc}\leqslant 1\Rightarrow bc\geqslant 1(1)$
Tương tự: $0=\frac{a^2-1}{a}+\frac{b^2-1}{b}+\frac{c^2-1}{c}\leqslant (c^2-1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\Rightarrow c\geqslant 1\Rightarrow \frac{c^2-1}{c}=(a+b)(\frac{1}{ab}-1)\geqslant 0\Rightarrow ab\leqslant 1\Rightarrow 2(\frac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab})\geqslant \frac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab}$
Vậy, ta được: $c-\frac{1}{c}=(a+b)(\frac{1}{ab}-1)\geqslant 2\sqrt{ab}(\frac{1}{ab}-1)=2(\frac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab})\geqslant \frac{1}{\sqrt{ab}}-\sqrt{ab}\Rightarrow (c\sqrt{ab}-1)(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{c})\geqslant 0\Rightarrow c\sqrt{ab}\geqslant 1\Rightarrow abc^2\geqslant 1 (2)$
Từ (1) và (2) suy ra $ab^2c^3\geqslant 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 18-12-2021 - 17:24
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh