Chủ đề này có 1 trả lời

[DOTOANNANG]

Cho $ a, b, c, d$  thoả $a^{2}\leq 1$, $a^{2}+ b^{2}\leq 5$, $a^{2}+ b^{2}+ c^{2}\leq 14$, $a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ d^{2}\leq 30$. Tìm $ max$ $ a+ b+ c+ d$

[nmtuan2001]

Cho $ a, b, c, d$  thoả $a^{2}\leq 1$, $a^{2}+ b^{2}\leq 5$, $a^{2}+ b^{2}+ c^{2}\leq 14$, $a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ d^{2}\leq 30$. Tìm $ max$ $ a+ b+ c+ d$

Dễ thấy dấu $=$ ở $a=1,b=2,c=3,d=4$ nên $12a=6b=4c=3d$. Từ đây ta có
$$(12a^2+6b^2+4c^2+3d^2)(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}) \geq (a+b+c+d)^2$$
$$(a+b+c+d)^2 \leq \frac{5}{6}(12a^2+6b^2+4c^2+3d^2)$$
Từ điều kiện ta có
$$12a^2+6b^2+4c^2+3d^2=3(a^2+b^2+c^2+d^2)+(a^2+b^2+c^2)+2(a^2+b^2)+6a^2 \leq 3.30+14+2.5+6=120$$
Do đó $(a+b+c+d)^2 \leq \frac{5}{6}.120=100$
Vậy $a+b+c+d \leq 10$.