Chủ đề này có 1 trả lời

[dungyeutoan]

Cho a,,b,c > 0 thỏa mãn $a\leq b\leq c và  a+b+c = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} 

Chứng minh

a) bc \geq 1 và abc^{2}\geq 1 

b) Tìm Min a+b^{2017}+c^{2018}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungyeutoan: 19-01-2018 - 20:08

[DOTOANNANG]

Lỗi latex, để tui đánh lại:

 

Cho a,,b,c > 0 thỏa mãn $a\leq b\leq c$ và  $a+b+c = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 

Chứng minh

a) $bc \geq 1$ và $abc^{2}\geq 1$ 

b) Tìm Min $a+b^{2017}+c^{2018}$

$0< a\leq b\leq c\Rightarrow 0= \frac{a^{2}- 1}{a}+ \frac{b^{2}- 1}{b}+ \frac{c^{2}- 1}{c}\geq 3.\frac{a^{2}- 1}{a}$

Suy ra $ a\leq  1$ và $0\leq 3.\frac{c^{2}- 1}{c}\Rightarrow c\geq 1$

Ta có:

$\frac{b^{2}- 1}{b}+ \frac{c^{2}- 1}{c}= \frac{1- a^{2}}{a}\geq 0\Rightarrow \left ( b +c \right )\left ( 1- \frac{1}{bc} \right )\geq 0\Leftrightarrow bc\geq 1$

Mặt khác:

$\frac{c^{2}- 1}{c}= \frac{1- a^{2}}{a}+ \frac{1- b^{2}}{b}= \left ( a+ b \right )\left ( \frac{1}{ab}- 1 \right )\geq 2\sqrt{ab}\left ( \frac{1}{ab}- 1 \right )= 2\left ( \frac{1}{\sqrt{ab}}- \sqrt{ab} \right )\geq \frac{1}{\sqrt{ab}}- \sqrt{ab}\Rightarrow c- \frac{1}{c}\geq \frac{1}{\sqrt{ab}}- \sqrt{ab}\Leftrightarrow \left ( c- \frac{1}{\sqrt{ab}} \right )\left ( 1+ \frac{\sqrt{ab}}{c} \right )\geq 0\Leftrightarrow c\geq \frac{1}{\sqrt{ab}}\Leftrightarrow abc^{2}\geq 1$

Áp dụng BĐT AM_GM, ta có:

$a+ b^{2014}+ c^{2015}\sqrt[3]{ab^{2014}c^{2015}}= 3\sqrt[3]{abc^{2}\left ( bc \right )^{2013}}\geq 3$