Chủ đề này có 1 trả lời

[INXANG]

Cho $ a, b, c> 0$ thoả:

$ a+ b+ c= 3$

$ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 4$

Tìm các cực trị của $ Q= \frac{a}{b}$

[nmtuan2001]

Cho $ a, b, c> 0$ thoả:

$ a+ b+ c= 3$

$ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 4$

Tìm các cực trị của $ Q= \frac{a}{b}$

Thay $c=3-a-b$:

$$a^2+b^2+(a+b-3)^2=4$$

$$2(a^2+b^2)-6a-6b+2ab+5=0$$

Đặt $\frac{a}{b}=k$ thì $a=bk$.

$$2(b^2k^2+b^2)-6bk-6b+2b^2k+5=0$$

$$2b^2(k^2+k+1)-6b(k+1)+5=0 \ \ \ \ (1)$$

Ta có $\Delta'=9(k+1)^2-10(k^2+k+1)=-k^2+8k-1=-(k-4)^2+15 \geq 0$, nên $(k-4)^2 \leq 15$.

Suy ra $4-\sqrt{15} \leq k \leq 4+\sqrt{15}$.

 

Khi $k=4-\sqrt{15}$, PT(1) trở thành $18(4-\sqrt{15})b^2-6(5-\sqrt{15})b+5=0$.

Giải ra ta được $b=\frac{5+\sqrt{15}}{6}$ và $a=\frac{5-\sqrt{15}}{6}$.

Khi $k=4+\sqrt{15}$, PT(1) trở thành $18(4+\sqrt{15})b^2-6(5+\sqrt{15})b+5=0$.

Giải ra ta được $b=\frac{5-\sqrt{15}}{6}$ và $a=\frac{5+\sqrt{15}}{6}$.

 

Vậy min $\frac{a}{b}=4-\sqrt{15}$ khi và chỉ khi $a=\frac{5-\sqrt{15}}{6}, b=\frac{5+\sqrt{15}}{6}$ và $c=\frac{4}{3}$.

Max $\frac{a}{b}=4+\sqrt{15}$ khi và chỉ khi $a=\frac{5+\sqrt{15}}{6}, b=\frac{5-\sqrt{15}}{6}$ và $c=\frac{4}{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 20-01-2018 - 14:38