1. Tìm m,n nguyên dương sao cho: $mn|3^m+5^m;3^n+5^n$
2. Tìm n nguyên dương thỏa mãn: $n|2^{n-1}+1$
3. Tìm a,b,c nguyên để : $an!^2+bn!+c\vdots 2n+1\forall n\epsilon N^{*}$
4. Tìm số chính phương n,k mà $n,k\geq 2$ và $n+k^n;n.k^{k^n-1}+1$ là các số nguyên tố.
5. Tìm số nguyên dương n để {1! ; 2! ;...; n!} là hệ thặng dư đầy đủ mod n.
6. Cho m,b là số nguyên dương, b lẻ. Chứng minh rằng $\exists a\in N^* : 2m\equiv a^{19}+b^{99}(mod2^{1999})$
7. a)Cho a,b,m,n là số nguyên dương thỏa mãn am=bn.
CMR: $\exists u\in N^* : a=u^{\frac{n}{d}};b=u^{\frac{m}{d}}( d=(m,n))$
b) Tìm a,b nguyên dương mà : $a^{b^2}=b^a$
8. Cho a,b nguyên dương thỏa mãn : $a^{4n+1}|b^{4n+2};a^{4n+4}|b^{4n+3}$
CMR: a=b
9. CMR: $(n!)^{n^2+n+1}|(n^{3})!$ với mọi n nguyên dương.
10. Cho dãy số (xn) : x1=603; x2=102 và $x_{n+2}=x_{n+1}+x_n+2\sqrt{x_n.x_{n+1}-2}$
a) Chứng minh dãy (xn) nguyên
b) CMR: tồn tại vô số giá trị của n mà xn có tận cùng là 2003.
