Chủ đề này có 1 trả lời

[doctor lee]

cho a,b,c thuộc R >1 tm a+b+c=6

cmr $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\leq 216$

[DOTOANNANG]

cho a,b,c thuộc R >1 tm a+b+c=6

cmr $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\leq 216$

Không mất tính tổng quát, giả sử $ a> b> c$, ta có:

$a\geq 2, c\leq 2$

Ta sẽ chứng minh được điều sau đây:

$\left ( a^{2}+ 2 \right )\left ( b^{2}+ 2 \right )\leq \left ( \frac{\left ( a+ b \right )^{2}}{4}+ 2 \right )^{2}$

Thật vậy, vì $-16+ 6ab+ a^{2}+ b^{2}\geq - 16+ 2.2.1+ 2^{2}+ 1^{2}= 1> 0$ nên:

$\left ( a^{2}+ 2 \right )\left ( b^{2}+ 2 \right )- \left ( \frac{\left ( a+ b \right )^{2}}{4}+ 2 \right )^{2}= \frac{- 1}{16}\left ( a- b \right )^{2}\left ( a^{2}+ 6ab+ b^{2}- 16 \right )\leq 0$

Ta phải chứng minh:

$\left ( \frac{\left ( 6- c \right )^{2}}{4}+ 2 \right )^{2}\left ( c^{2}+ 2 \right )\leq 216$

Thật vậy, vì $1\leq c\leq 2$ nên:

$c^{4}- 20c^{3}+ 150c^{2}- 424c+ 104\leq 2c^{3}- 20c^{3}+ 300c- 424c+ 104= -18c^{3}- 124c+ 104\leq -18c^{3}- 124+ 104= - 18c^{3}- 20< 0$

Từ đó, ta có:

$\left ( \frac{\left ( 6- c \right )^{2}}{4}+ 2 \right )^{2}\left ( c^{2} + 2\right )= 216+ \frac{1}{16}\left ( c- 2 \right )^{2}\left ( c^{4}- 20c^{3}+ 150c^{2}- 424c+ 104 \right )\leq 216$