Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm hàm $f:R\to R$ thỏa mãn: $f(x)=\max\limits_{y\in R}\{ xy-f(y)\},\forall x\in R$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 20-01-2018 - 17:14

Tìm hàm $f:R\to R$ thỏa mãn: $f(x)=\max\limits_{y\in R}\{ xy-f(y)\},\forall x\in R$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1897 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 03-07-2019 - 23:53

Tìm hàm $f:R\to R$ thỏa mãn: $f(x)=\max\limits_{y\in R}\{ xy-f(y)\},\forall x\in R$

Ta có : $f(m)=\max\limits_{y\in \mathbb{R}}\{ m.y-f(y)\},\forall m\in\mathbb{R}$. Đặt $P=m.y-f(y)$

Trước hết, xét trường hợp $f$ là hàm đa thức.

1) Trường hợp $f$ là hàm hằng hoặc hàm bậc lẻ : Khi đó không tồn tại $\max P$ (vì $P$ bậc lẻ) $\Rightarrow$ không tồn tại hàm $f$ thỏa mãn.

2) Trường hợp $f$ là hàm bậc hai : ($f(x)=ax^2+bx+c$ với $a,b,c\in\mathbb{R}$ và $a\neq 0$)

    Ta có : $f(m)=\max\limits_{y\in \mathbb{R}}\{ m.y-f(y)\}=\max\limits_{y\in \mathbb{R}}\{ m.y-(ay^2+by+c)\}=\max\limits_{y\in \mathbb{R}}\{-ay^2+(m-b)y-c\},\forall m\in \mathbb{R}$

    Lưu ý, để tồn tại $\max$ của biểu thức $P=-ay^2+(m-b)y-c$ thì cần phải có điều kiện $a> 0$

    Khi đó, $P$ sẽ đạt GTLN khi $y=\frac{m-b}{2a}$ và 

    $f(m)=\max\ P=\frac{-a(m-b)^2}{4a^2}+\frac{(m-b)^2}{2a}-c=\frac{(m-b)^2-4ac}{4a}=\frac{m^2-2bm+b^2-4ac}{4a}$

    $\Rightarrow f(x)=\frac{x^2-2bx+b^2-4ac}{4a}=\frac{1}{4a}\ x^2-\frac{b}{2a}\ x+\frac{b^2-4ac}{4a}$

    Mặt khác, $f(x)=ax^2+bx+c$

    $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{1}{4a}=a\\-\frac{b}{2a}=b\\\frac{b^2-4ac}{4a}=c \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=c=0 \end{matrix}\right.$

    Vậy ta tìm được hàm $f(x)=\frac{1}{2}\ x^2$

 

3) Trường hợp $f$ là hàm bậc chẵn lớn hơn $2$ hoặc không phải hàm đa thức : (chưa nghĩ ra)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 04-07-2019 - 17:48

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 phamnam2705

phamnam2705

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 09-07-2019 - 15:23

Xét một x thuộc R bất kỳ, cần tìm giá trị f(x) thỏa mãn:

$f(x)=\underset{y\in R}{max}\left \{ xy-f(y) \right \} \Rightarrow xy-f(y)\leq f(x), \forall y\in R.$ (1)

Vì bất đẳng thức (1) thỏa mãn với mọi y thuộc R, nên nếu chọn y=x, ta sẽ có:

$x^{2}-f(x) \leq f(x) \Leftrightarrow f(x)\geq \frac{1}{2}x^{2}$ 

Vậy, $f(x)\geq \frac{1}{2}x^{2}, \forall x\in R$ (2)

Tuy nhiên, nếu tồn tại một x thuộc R sao cho $f(x)> \frac{1}{2}x^{2}$, ta sẽ chứng minh rằng có điều vô lý.

Theo (2), thay x bởi y, ta có: $f(y)\geqslant \frac{1}{2}y^{2}, \forall y\in R$

Ta suy ra: $f(x)+f(y)> \frac{1}{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )\geq xy,\forall y\in R$

Nghĩa là ta không tìm được giá trị y nào để thỏa mãn dấu bằng trong bất đẳng thức (1) và sẽ không tồn tại giá trị max của hàm $xy-f(y)$ trên R. Đó là điều vô lý.

Vậy, $f(x)= \frac{1}{2}x^{2}, \forall x\in R$

 

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh