Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $f$ đơn ánh.

- - - - - pth namcpnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Xét hàm số $f$ xác định và nhận các giá trị trên tập số nguyên không âm thỏa mãn:
$f(2x)=2f(x)$
$f(4x+1)=4f(x)+3$
$f(4x-1)=2f(2x-1)-1$
Chứng minh $f$ đơn ánh.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Giả sử hàm số $f$ xác định và nhận các giá trị trên tập số nguyên không âm thỏa mãn:
$f(2x)=2f(x)$ (i)
$f(4x+1)=4f(x)+3$ (ii)
$f(4x-1)=2f(2x-1)-1$ (iii)
Từ (ii) và (iii) ta thấy $f(4x+1)$ chia 4 dư 3 và $f(4x-1)$ chia 4 dư 1
$T_{(i)}(0)\Rightarrow f(0)=0$
$T_{(ii)}(0)\Rightarrow f(1)=3$
Cũng từ (i) ta có: $f(2^xy)=2^xf(y)$
Từ (ii) và (iii) ta cũng có $f(2n+1)$ lẻ $\forall n$
Ta chứng minh $f(a)\neq f(b)\, \forall a\neq b$ bằng quy nạp (*)
Với $a,b<2$, (*) đúng do $f(0)=0,\,f(1)=3$
Giả sử (*) đúng với mọi $a,\,b \leqslant n$
Ta chứng minh $f(n+1)$ khác $f(n),\,f(n-1),...$
Giả sử tồn tại $k$ sao cho $f(n+1)=f(k)$ và $k\leqslant n$
Đặt $n+1=2^st,\,k=2^kh\text{(với t, h lẻ)}\Rightarrow f(2^st)=f(2^kh)\Rightarrow 2^sf(t)=2^kf(h)$
Do $f(t),\,f(h)$ lẻ nên ta có $s=k\Rightarrow f(t)=f(h)$
Nếu $k=h>0$, khi đó $t,\,h\leqslant n$ nên $t=h$, vô lý.
Nếu $k=h=0$, lại xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: $t=4l+1$, khi đó $f(h)$ chia 4 dư 3 nên $h$ chia 4 dư 1, đặt $h=4v+1$
$\Rightarrow f(l)=f(v)\Rightarrow l=v\Rightarrow t=h$, vô lý!!!
Trường hợp 2: $t=4l+3$, chứng minh tương tự, ta cũng có $t=h$.
Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có đpcm.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pth, namcpnh

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh