Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{ab}{a^{5}+ b^{5}+ ab}+ \frac{bc}{b^{5}+ c^{5}+ bc}+ \frac{ca}{c^{5}+ a^{5}+ ca}\leq 1$

bđt lượng giác hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 21-01-2018 - 13:31

1) Cho $ a, b, c$ là các số thực dương thoả: $ abc= 1$. Cmr:

$\frac{ab}{a^{5}+ b^{5}+ ab}+ \frac{bc}{b^{5}+ c^{5}+ bc}+ \frac{ca}{c^{5}+ a^{5}+ ca}\leq 1$

2) Cho $ a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn: $ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 1$. Tìm giả trị nhỏ nhất của:

$\frac{ab}{c}+ \frac{bc}{a}+ \frac{ca}{b}$

3) Cho $ a\geq  6 $. CMR: $ a^{2}+ \frac{6}{\sqrt{a}}- \sqrt{6}\geq  36$

4) Cho $ a, b, c, d$ là các số nguyên và $ 1\leq a \leq b\leq  c\leq  d\leq  90$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P= \frac{a}{b}+ \frac{3c}{d}$

5) Cho các số thực dương $ x, a, b, c$ thoả điều kiện: $x^{2}= a^{2}+ b^{2}+ c^{2}$.

CMR: $\frac{a}{x+ 2a}+ \frac{b}{x+ 2b}+ \frac{c}{2+ 2c}\leq \frac{3}{2+ \sqrt{3}}$

6) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

$y= 2+ \sqrt{2}\sin \left ( x+ \frac{\Pi }{4} \right )+ 2\sqrt{1+ \sin x+ \cos x+ \sin x\cos x}$, với $x \in R$

7) Cho $ x> 0$, $ y> 0$ và $x+ 2y< \frac{5\Pi }{4}$. CMR:

$\cos \left ( x+ y \right )< \frac{y\sin x}{x \sin y}$

8) Cho các số $\alpha , \beta , \gamma$ thoả mãn: $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\Pi }{2}$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A= \sqrt{\tan \alpha \tan \beta + 1}+ \sqrt{ \tan \beta \tan \gamma + 1}+ \sqrt{ \tan \gamma \tan \alpha + 1}$

Dễ có, khó có, hình có ,đại có. Mình đã đánh số cho các bài theo mức từ dễ đến khó hết rồi. Mong mọi người giúp mình. Mình cảm ơn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 24-01-2018 - 08:33


#2 nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 21-01-2018 - 14:48

1) Cho $ a, b, c$ là các số thực dương thoả: $ abc= 1$. Cmr:

$\frac{ab}{a^{5}+ b^{5}+ ab}+ \frac{bc}{b^{5}+ c^{5}+ bc}+ \frac{ca}{c^{5}+ a^{5}+ ca}\leq 1$

2) Cho $ a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn: $ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 1$. Tìm giả trị nhỏ nhất của:

$\frac{ab}{c}+ \frac{bc}{a}+ \frac{ca}{b}$

1. Ta có $a^5+b^5=(a+b)(a^4+b^4-a^3b-ab^3+a^2b^2)$

Mà $a^4+b^4 \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2} \geq ab(a^2+b^2)=a^3b+ab^3$ nên $a^5+b^5 \geq a^2b^2(a+b)$.

Do đó $\frac{ab}{a^5+b^5+ab} \leq \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{abc}{ab(a+b)+abc}=\frac{c}{a+b+c}$.

Tương tự $\frac{bc}{b^5+c^5+bc} \leq \frac{a}{a+b+c}$ và $\frac{ca}{c^5+a^5+ca} \leq \frac{b}{a+b+c}$.

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được đpcm.

 

2. Áp dụng BĐT $(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx)$:

$$(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})^2 \geq 3\sum \frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}=3(a^2+b^2+c^2)=3$$

Do đó min $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}=\sqrt{3}$ khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$.



#3 nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 22-01-2018 - 09:32

3) Cho $ a\geq  6 $. CMR: $ a^{2}+ \frac{6}{\sqrt{a}}- \sqrt{6}\geq  36$

Ta có $a^2+\frac{6}{\sqrt{a}}=a^2-\sqrt{a}+\sqrt{a}+\frac{6}{\sqrt{a}} \geq 6\sqrt{6}.\sqrt{a}-\sqrt{a}+2\sqrt{\sqrt{a}.\frac{6}{\sqrt{a}}}$

$=(6\sqrt{6}-1)\sqrt{a}+2\sqrt{6} \geq (6\sqrt{6}-1)\sqrt{6}+2\sqrt{6}=36+\sqrt{6}$

Từ đây ta có đpcm.







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh