Chủ đề này có 2 trả lời

[DOTOANNANG]

1) Cho $ a, b, c$ là các số thực dương thoả: $ abc= 1$. Cmr:

$\frac{ab}{a^{5}+ b^{5}+ ab}+ \frac{bc}{b^{5}+ c^{5}+ bc}+ \frac{ca}{c^{5}+ a^{5}+ ca}\leq 1$

2) Cho $ a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn: $ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 1$. Tìm giả trị nhỏ nhất của:

$\frac{ab}{c}+ \frac{bc}{a}+ \frac{ca}{b}$

3) Cho $ a\geq  6 $. CMR: $ a^{2}+ \frac{6}{\sqrt{a}}- \sqrt{6}\geq  36$

4) Cho $ a, b, c, d$ là các số nguyên và $ 1\leq a \leq b\leq  c\leq  d\leq  90$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P= \frac{a}{b}+ \frac{3c}{d}$

5) Cho các số thực dương $ x, a, b, c$ thoả điều kiện: $x^{2}= a^{2}+ b^{2}+ c^{2}$.

CMR: $\frac{a}{x+ 2a}+ \frac{b}{x+ 2b}+ \frac{c}{2+ 2c}\leq \frac{3}{2+ \sqrt{3}}$

6) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

$y= 2+ \sqrt{2}\sin \left ( x+ \frac{\Pi }{4} \right )+ 2\sqrt{1+ \sin x+ \cos x+ \sin x\cos x}$, với $x \in R$

7) Cho $ x> 0$, $ y> 0$ và $x+ 2y< \frac{5\Pi }{4}$. CMR:

$\cos \left ( x+ y \right )< \frac{y\sin x}{x \sin y}$

8) Cho các số $\alpha , \beta , \gamma$ thoả mãn: $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\Pi }{2}$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A= \sqrt{\tan \alpha \tan \beta + 1}+ \sqrt{ \tan \beta \tan \gamma + 1}+ \sqrt{ \tan \gamma \tan \alpha + 1}$

Dễ có, khó có, hình có ,đại có. Mình đã đánh số cho các bài theo mức từ dễ đến khó hết rồi. Mong mọi người giúp mình. Mình cảm ơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 24-01-2018 - 08:33

[nmtuan2001]

1) Cho $ a, b, c$ là các số thực dương thoả: $ abc= 1$. Cmr:

$\frac{ab}{a^{5}+ b^{5}+ ab}+ \frac{bc}{b^{5}+ c^{5}+ bc}+ \frac{ca}{c^{5}+ a^{5}+ ca}\leq 1$

2) Cho $ a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn: $ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 1$. Tìm giả trị nhỏ nhất của:

$\frac{ab}{c}+ \frac{bc}{a}+ \frac{ca}{b}$

1. Ta có $a^5+b^5=(a+b)(a^4+b^4-a^3b-ab^3+a^2b^2)$

Mà $a^4+b^4 \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2} \geq ab(a^2+b^2)=a^3b+ab^3$ nên $a^5+b^5 \geq a^2b^2(a+b)$.

Do đó $\frac{ab}{a^5+b^5+ab} \leq \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{abc}{ab(a+b)+abc}=\frac{c}{a+b+c}$.

Tương tự $\frac{bc}{b^5+c^5+bc} \leq \frac{a}{a+b+c}$ và $\frac{ca}{c^5+a^5+ca} \leq \frac{b}{a+b+c}$.

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được đpcm.

 

2. Áp dụng BĐT $(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx)$:

$$(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})^2 \geq 3\sum \frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}=3(a^2+b^2+c^2)=3$$

Do đó min $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}=\sqrt{3}$ khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

[nmtuan2001]

3) Cho $ a\geq  6 $. CMR: $ a^{2}+ \frac{6}{\sqrt{a}}- \sqrt{6}\geq  36$

Ta có $a^2+\frac{6}{\sqrt{a}}=a^2-\sqrt{a}+\sqrt{a}+\frac{6}{\sqrt{a}} \geq 6\sqrt{6}.\sqrt{a}-\sqrt{a}+2\sqrt{\sqrt{a}.\frac{6}{\sqrt{a}}}$

$=(6\sqrt{6}-1)\sqrt{a}+2\sqrt{6} \geq (6\sqrt{6}-1)\sqrt{6}+2\sqrt{6}=36+\sqrt{6}$

Từ đây ta có đpcm.