1) Cho tứ giác $ ABCD$ vừa nội tiếp một đường tròn tâm $ O$ vừa ngoại tiếp một đường tròn tâm $ I$. Đường thẳng qua $ I$ song song với một cạnh của tứ giác, cắt hai cạnh liền kề với nó ở hai điểm $ M, N$. Chứng minh rằng độ dài $ MN$ không phụ thuộc vào việc chọn cạnh để kẻ đường thẳng song song.
2) Trên mặt phẳng cho điểm $ I$ cố định, ba đường tròn $\left ( O_{1}; R_{1} \right ), \left ( O_{2}; R_{2} \right ), \left ( O_{3}; R_{3} \right )$ cùng qua $ I$; ngoài ra các điểm $ A, B, C$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $ \left ( O_{2} \right )$ và $ \left ( O_{3} \right )$: $ \left ( O_{3} \right )$ và $ \left ( O_{1} \right )$; $ \left ( O_{1} \right )$ và $ \left ( O_{2} \right )$. Biết tâm $ I$ nằm bên trong $ \Delta ABC$. Một đường thẳng $ MN$ tiếp xúc với $ \left ( O_{1} \right ), \left ( O_{2} \right )$ lần lượt tại $ M, N$ và không cắt $ \left ( O_{3} \right )$, tương tự đường thẳng $ PQ$ tiếp xúc với $ \left ( O_{2} \right ), \left ( O_{3} \right )$, đường thẳng $ EF$ tiếp xúc với $ \left ( O_{3} \right ), \left ( O_{1} \right )$. Giả sử các đường tròn $\left ( O_{1}; R_{1} \right ), \left ( O_{2}; R_{2} \right ), \left ( O_{3}; R_{3} \right )$ thay đỏi sao cho: $R_{1}^{2}+ R_{2}^{2}+ R_{3}^{2}\leq 3$.
Hãy tính bán kính các đường tròn và khoảng cách tâm các đường tròn sao cho tổng $S= S_{\Delta IMN}+ S_{\Delta IPQ}+ S_{\Delta IEF}$ lớn nhất.
3) Cho tam giác $ ABC$ nhọn, không cân có $BC= a, AB= c, CA= b$. Gọi $\left ( AD, AG \right ), \left ( BE, BI \right ), \left ( CF, CK \right )$ lần lượt là đường trung tuyến và đường cao của tam giác ứng với các đỉnh $ A, B, C$ . CMR:
$\frac{a^{2}}{b^{2}- c^{2}}. \bar{DG}+ \frac{b^{2}}{c^{2}- a^{2}}. \bar{EI}+ \frac{c^{2}}{a^{2}- b^{2}}. \bar{FK}= \bar{0}$
4) Tìm 3 số hạng dầu tiên của cấp số cộng có công sai: $d> 0$; biết rằng 3 số hạng đó là các số nguyên và là đọ dài 3 cạnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 3.
5) Có tồn tại hay không một đa giác dều 600 cạnh trong MP toạ độ Decartes Oxy mà toạ đọ các đỉnh đều là số hữu tỉ?
6) a) Cho tam giác $ ABC$ nhọn. Dựng về phía ngoài ABC các tam giác ABE, ACF đồng dạng và theo thứ tự vuông tại B & C; BF cắt CE tại H. CM: $AH$ vuông góc với $BC$.
b) Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn có AC song song DF, BE là đường kính. Gọi $ M, N$ lần lượt là giao điểm của $ AB$ với $ EF$ và $ BC$ với $ DE$; $ I$ là giao điểm của $AN$ với $CM$. CMR: $EI$ vuông góc với $AC$
7) Cho đường tròn tâm $ O$ và dây cung $AB$. Một điểm $E$ di động trên dây $AB$ ( $E$ khác $ A, B$). Qua $ E$ kẻ dây cung $CD$( khác dây $ AB$) của đường tròn ($ O$). Trên tia $ DA$ lấy điểm P, trên tia $DP$ lấy $Q$ sao cho $P$, $Q$ đối xứng nhau qua $E$. CMR đường tròn tiếp xúc với $PQ$ tại $E$ và đi qua $C$ luôn đi qua một điểm cố định khi $E$ di chuyển trên dây $AB$
8) Cho tam giác $ABC$ nhọn, các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Trên $DE$ lấy $K$ sao cho $DK= DH$. Qua $K$ dựng đường vuông góc với $DE$ cắt $AD$ tại $I$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. CMR: $BM= MI+ IK$
9) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có các cạnh $BC= a, AC= b, AB= c$. Gọi $I$ là trung điểm của đường cao là $AH$
a) CM: $a^{2}\vec{IA}+ b^{2}\vec{IB}+ c^{2}\vec{IC}= \vec{0}$
b) CM: tâp hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng $\left ( ABC \right )$ thoả mãn hệ thức:
$a^{2}MA^{2}+ b^{2}MB^{2}+ c^{2}MC^{2} = 2b^{2}c^{2}$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $\frac{bc}{2a}$
Solved
