Chủ đề này có 2 trả lời

[DOTOANNANG]

$ a, b, c> 0$, $ \left ( a+ b \right )\left ( b+ c \right )\left ( c+ a \right )=  8$

CM:

$ ab+ bc+ ca< 3$

[hanguyen445]

Giả sử $ab+bc+ac>3$. Ta có $3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ac)=9\Rightarrow a^2+b^2+c^2> 3;a+b+c> 3$

$(a+b)(b+c)(c+a)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=\dfrac{8(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}+\dfrac{(ab+bc+ac)(a+b+c)}{9}-abc$

$\ge\dfrac{8.3.3}{9}+9\dfrac{\sqrt[3]{(abc)^3}}{9}-abc=8$ Điều này mâu thuẫn với $(a+b)(b+c)(c+a)=8$

Vậy $ab+bc+ac\le 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 21-01-2018 - 16:55

[nmtuan2001]

$ a, b, c> 0$, $ \left ( a+ b \right )\left ( b+ c \right )\left ( c+ a \right )= 8$
CM:
$ ab+ bc+ ca< 3$

Cách khác:
Ta sẽ chứng minh $9(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8(a+b+c)(ab+bc+ca)$.
Vì $(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ nên BĐT trên tương đương với
$$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$$
BĐT đúng theo AM-GM: $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc$.

Áp dụng BĐT trên, ta có $(a+b+c)(ab+bc+ca) \leq 9$. Mà $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$ nên
$$81 \geq (a+b+c)^2(ab+bc+ca)^2 \geq 3(ab+bc+ca)^3$$
Suy ra $ab+bc+ca \leq 3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 21-01-2018 - 22:45