Cho 2 số a, b thoả mãn điều kiện $a+b=1$. Chứng minh $a^3+b^3+ab\geq \frac{1}{2}$
#1
Đã gửi 21-01-2018 - 17:44
thutrang2k4dc
-
- Thành viên
-
- 52 Bài viết
Hạ sĩ
Tôi âm thầm nhìn dòng đời thầm lặng
Đưa tôi qua những ngã rẽ cuộc đời
Đời còn dài còn bao nhiêu ngã rẽ
Rẽ lỗi nào cho bớt chông gai....
#2
Đã gửi 21-01-2018 - 19:14
TrucCumgarDaklak
-
- Thành viên
-
- 182 Bài viết
Trung sĩ
Ta có: $\left ( a-b \right )^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+2ab+b^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow ab\leq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}=\frac{1}{4}$
$a^{3}+b^{3}+ab=\left ( a+b \right )^{3}-3ab\left ( a+b \right )+ab=1-3ab\left ( a+b-\frac{1}{3} \right )=1-3ab\left ( 1-\frac{1}{3} \right )=1-2ab\geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrucCumgarDaklak: 21-01-2018 - 19:19
- Tea Coffee yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
