Chủ đề này có 3 trả lời

[LOVEMATH123ad]

Mình năm nay đã lớp 9, đang ôn tập để chuẩn bị cho kì thi tỉnh sắp tới. Có một số bài bất đẳng thức tương đối hay, mình xin nêu ra để các bạn cùng giải (  anh chị 10,11 cũng thử xem nhé )

Bài 1:Cho $abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+\sqrt{2012}$

Chứng minh rằng $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)\geq 2012$

Bài 2:Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 1. Tìm Min của $A=\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

Bài 3: Cho $A_{n}=\frac{1}{(2n+1)\sqrt{2n-1}}$ với n là số nguyên dương. CMR: $A_{1}+A_{2}+...+A_{n}<1$

Chúc các bạn lớp 9 có một kì thi tốt và đạt được kết quả cao.

[nmtuan2001]

Bài 2:Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 1. Tìm Min của $A=\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

Xét $B=\frac{y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$.

Ta có $A-B=\frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4-z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4-x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}=(x-y)+(y-z)+(z-x)=0$.

Suy ra $A=B$, nên $2A=A+B=\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

Mà $x^4+y^4 \geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}=2(x^2+y^2).\frac{x^2+y^2}{4} \geq \frac{(x^2+y^2)(x+y)^2}{4}$ nên

$$\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)} \geq \frac{x+y}{4}$$

Ta có các BĐT tương tự và suy ra

$$2A \geq \frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{z+x}{4}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{1}{2}$$

Vậy min $A=\frac{1}{4}$ khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$.

[HelpMeImDying]

 

Bài 1:Cho $abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+\sqrt{2012}$

Chứng minh rằng $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)\geq 2012$

 

$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)=(a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+1)(c^{2}d^{2}+c^{2}+d^{2}+1)=[(ab-1)^{2}+(a+b)^{2}][(cd-1)^{2}+(c+d)^{2}]\geq [(ab-1)(c+d)+(cd-1)(a+b)]^{2}=(abc+bcd+cda+dab-a-b-c-d)^{2}=(\sqrt{2012})^{2}=2012$

[nmtuan2001]

Các bạn lớp 9 ko thấy ai làm thì mình chém nốt vậy

Bài 3: Cho $A_{n}=\frac{1}{(2n+1)\sqrt{2n-1}}$ với n là số nguyên dương. CMR: $A_{1}+A_{2}+...+A_{n}<1$

Chúc các bạn lớp 9 có một kì thi tốt và đạt được kết quả cao.

Ta sẽ chứng minh $A_{n}<\frac{1}{\sqrt{2n-1}}-\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$.

Thật vậy, nhân cả 2 vế BĐT với $(2n+1)\sqrt{2n-1}$:

$$1<(2n+1)-\sqrt{(2n+1)(2n-1)}$$

$$\sqrt{4n^2-1}<2n$$

BĐT hiển nhiên đúng.

 

Từ đây suy ra $A_1+A_2+...+A_n<\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{2n-1}}-\frac{1}{\sqrt{2n+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{2n+1}}<1$.