Chủ đề này có 4 trả lời

[buingoctu]

1, 

Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương ta có:

$\sqrt{a^{4}+b^{4}+c^{4}}+\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq \sqrt{a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a}+\sqrt{ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}}$.

2,

Cho a,b,c > 0, chứng minh:

$\frac{a}{7+b^{3}+c^{3}}+\frac{b}{7+a^{3}+c^{3}}+\frac{c}{7+a^{3}+b^{3}}\leq \frac{1}{3}$.

3,

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+bc+3abc}+\frac{1}{b+ca+3abc}\geq \frac{2}{ab+bc+ca+abc}$

4,

Cho x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012$

Tìm GTNN của A=2xy-yz-xz.

5,

Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:

$(a^{5}-a^{2}+3)(b^{5}-b^{2}+3)(c^{5}-c^{2}+3)\geq (a+b+c)^{3}$.

6,

Cho x, y, z > 0 chứng minh rằng:

$\frac{1}{3}(x+\frac{y^{2}}{x}+\frac{z^{3}}{y^{2}})(\frac{x+y}{2})^{2}\geq (\frac{x+y+z}{3})^{3}\geq z(\frac{x+y}{2})^{2}$.

7,

Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa (a + b)(b + c)(c + d)(d + a) = 1. Chứng minh rằng:

$(2a+b+c)(2b+c+d)(2c+d+a)(2d+a+b)(abcd)^{2}\leq \frac{1}{16}$.

8,

Các số thực a, b, c, d thỏa mãn $(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)=16$. Chứng minh rằng:

$ab+bc+cd+da+ac+bd\leq 5+abcd$.

9,

Chứng minh bất đẳng thức sau vơi mọi số thực a, b, c:

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 9(ab+ac+bc)$.

10,

Cho a ≥ b ≥ c ≥ d. Chứng minh rằng:

$(a+b+c+d)^{2}\geq 8(ac+bd)$.

11,

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: $(x+y+z)^{3}=32xyz$. Tìm Max và Min

A=$\frac{x^{4}+y^{4}+z^{4}}{x+y+z}$.

12,

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

$(a^{2}+b^{2})(\frac{2ab}{a+c}-c)+(b^{2}+c^{2})(\frac{2bc}{b+a}-a)+(c^{2}+a^{2})(\frac{2ca}{c+b}-b)\geq 0$.

13,

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa x + y + z = 2. Chứng minh rằng:

$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq 1+\frac{x^{4}+y^{4}+z^{4}}{2}$.

14,

Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = xyz. Chứng minh rằng:

$3125x^{6}y^{4}z^{2}\leq 729(1+x^{2})^{3}(1+y^{2})^{2}(1+z^{2})$.

15,

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

$a^{2}(2a+b)+b^{2}(2b+3)+c^{2}(2c+3)\geq 3(9abc-1)$

Ps: Vâng, vâng... vâng... vâng, em biết em đẹp trai rùi, mọi người không cần đúng dậy,em biết em đẹp trai rùi.

Nều đề bài em sẽ chỉnh sửa sau, mong anh chị em tích cực trả lời để trang web ra ngoài thế giới

Cảm ơn anh chị em diễn đàn.

 

[nmtuan2001]

9,

Chứng minh bất đẳng thức sau vơi mọi số thực a, b, c:

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 9(ab+ac+bc)$.

Đây là BĐT từ APMO 2004. BĐT cũng ko chặt lắm nên có khá nhiều cách giải. Sau đây là một số cách giải cho bài toán này

(ko phải cách nào cũng là của mình)

Dễ thấy $9(ab+bc+ca) \leq 9(|ab|+|bc|+|ca|)$ nên cần chứng minh

$$(|a|^2+2)(|b|^2+2)(|c|^2+2) \geq 9(|ab|+|bc|+|ca|)$$

Do đó BĐT được đưa về chứng minh với $a,b,c$ là các số thực dương. (để sử dụng AM-GM, Cauchy-Schwarz)

 

Cách 1: BĐT tương đương với:

$$a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+4\sum a^2+8 \geq 9(ab+bc+ca)$$

Ta có $a^2b^2c^2+1+1 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=\frac{9abc}{3\sqrt[3]{abc}} \geq \frac{9abc}{a+b+c}$.

$2\sum a^2b^2+6=2\sum (a^2b^2+1) \geq 4\sum ab$.

Cần chứng minh $4\sum a^2+\frac{9abc}{a+b+c} \geq 5\sum ab$.

BĐT đúng theo Schur: $a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c} \geq 2(ab+bc+ca)$ và AM-GM: $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$.

 

Cách 2: Ta sẽ chứng minh BĐT chặt hơn $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 3(a+b+c)^2$.

Theo nguyên lý Dirichlet trong 3 số $a-1,b-1,c-1$ có 2 số cùng dấu. Giả sử 2 số đó là $a-1$ và $b-1$ thì $(a-1)(b-1) \geq 0$.

Dễ thấy $(c^2+1+1)(1+a^2+b^2) \geq (a+b+c)^2$ nên chỉ cần chứng minh

$$(a^2+2)(b^2+2) \geq 3(1+a^2+b^2)$$

$$a^2b^2+2(a^2+b^2)+4 \geq 3(1+a^2+b^2)$$

$$a^2b^2+1 \geq (a^2+b^2)$$

$$(a^2-1)(b^2-1) \geq 0$$

$$(a-1)(b-1)(a+1)(b+1) \geq 0$$

BĐT đúng vì $(a-1)(b-1) \geq 0$.

 

Cách 3: Ta sẽ chứng minh BĐT chặt hơn $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 3(a+b+c)^2$.

Áp dụng Cauchy-Schwarz: $(c^2+2)(1+\frac{(a+b)^2}{2}) \geq (a+b+c)^2$ nên cần chứng minh

$$(a^2+2)(b^2+2) \geq 3(1+\frac{(a+b)^2}{2})$$

$$a^2b^2+2(a^2+b^2)+4 \geq 3(1+\frac{(a+b)^2}{2})$$

$$a^2b^2+1+2(a^2+b^2) \geq \frac{3}{2}(a^2+b^2+2ab)$$

$$(ab-1)^2+\frac{(a-b)^2}{2} \geq 0$$

Do đó ta có đpcm.

[nmtuan2001]

5,

Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:

$(a^{5}-a^{2}+3)(b^{5}-b^{2}+3)(c^{5}-c^{2}+3)\geq (a+b+c)^{3}$.

Ta có $(a^5-a^2+3)-(a^3+2)=a^5-a^3-a^2+1=a^3(a^2-1)-(a^2-1)$

$=(a^2-1)(a^3-1)=(a-1)^2(a+1)(a^2+a+1) \geq 0$.

Do đó $a^5-a^2+3 \geq a^3+2$. Ta có các BĐT tương tự với $b,c$.

Suy ra $(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) \geq (a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3) \geq (a+b+c)^3$ theo BĐT Holder.

[nmtuan2001]

10,

Cho a ≥ b ≥ c ≥ d. Chứng minh rằng:

$(a+b+c+d)^{2}\geq 8(ac+bd)$.

BĐT tương đương với:

$$(a+c)^2+(b+d)^2+2(a+c)(b+d) \geq 8(ac+bd)$$

$$(a-c)^2+(b-d)^2+2(ab+bc+cd+da) \geq 4(ac+bd)$$

Mà $(a-c)^2+(b-d)^2 \geq 2(a-c)(b-d)=2(ab+cd-bc-da)$ nên chỉ cần chứng minh

$$2(ab+cd-bc-da)+2(ab+bc+cd+da) \geq 4(ac+bd)$$

$$ab+cd \geq ac+bd$$

$$(a-d)(b-c) \geq 0$$

BĐT đúng vì $a \geq b \geq c \geq d$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 23-01-2018 - 12:02

[nmtuan2001]

1, 

Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương ta có:

$\sqrt{a^{4}+b^{4}+c^{4}}+\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq \sqrt{a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a}+\sqrt{ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}}$.

Áp dụng AM-GM: $VP \leq \sqrt{2(a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3)}=\sqrt{2[ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)]}$.

Cần chứng minh $\sqrt{a^4+b^4+c^4}+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq \sqrt{2[ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)]}$.

Bình phương 2 vế: $a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\sqrt{(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)} \geq 2[ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)]$.

AM-GM: $a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{1}{2}[(a^2+b^2)^2+(b^2+c^2)^2+(c^2+a^2)^2] \geq ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$

Cauchy-Schwarz: $2\sqrt{(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}=\sqrt{(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}+\sqrt{(a^4+b^4+c^4)(c^2a^2+a^2b^2+b^2c^2)}$

$\geq (a^2.ab+b^2.bc+c^2.ca)+(a^2.ca+b^2.ab+c^2.bc)=ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$

Từ đây ta có đpcm.