Chủ đề này có 2 trả lời

[Khoa Linh]

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$

Tìm Min(A)=$x^2+y^2+z^2$

[melodias2002]

Theo giả thiết: $1=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \Rightarrow xy+yz+zx=x^2+y^2+z^2-\frac{1}{x+y+z} $

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-2(x^2+y^2+z^2)+\frac{2}{x+y+z}$

$\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2) = (x+y+z)^2+\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z} \geq 3 \Rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 1 $

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x+y+z=1 $ và $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi melodias2002: 22-01-2018 - 23:47

[nmtuan2001]

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x+y+z=1 $ và $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$

Mình hoàn thiện nốt phần dấu $=$.

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x+y+z=1$ và $x^2+y^2+z^2=1$, suy ra $xy+yz+zx=0$.

Chọn $x=a$. Suy ra $y+z=1-a$.

$$xy+yz+zx=yz+x(y+z)=yz+a(1-a)=0$$

$$yz=a(a-1)$$

Do đó $(y-z)^2=(1-a)^2-4a(a-1)=(1-a)(1+3a)$

$y-z=\pm \sqrt{(1-a)(1+3a)}$

$y=\frac{1-a+\sqrt{(1-a)(1+3a)}}{2}, z=\frac{1-a-\sqrt{(1-a)(1+3a)}}{2}$ hoặc ngược lại.

Vậy dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $(x,y,z)=\Big( a,\frac{1-a+\sqrt{(1-a)(1+3a)}}{2},\frac{1-a-\sqrt{(1-a)(1+3a)}}{2} \Big)$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 23-01-2018 - 10:28