Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}\geq a+b+\frac{4(a-b)^2}{a+b}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 melodias2002

melodias2002

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trái Đất

Đã gửi 22-01-2018 - 23:31

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$a) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}\geq a+b+\frac{4(a-b)^2}{a+b}$

$b) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$ 



#2 nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 23-01-2018 - 10:50

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$a) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}\geq a+b+\frac{4(a-b)^2}{a+b}$

$b) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$ 

$$\frac{a^2}{b}+b-2a=\frac{a^2+b^2-2ab}{b}=\frac{(a-b)^2}{b}$$

 

$a)$ BĐT tương đương với:

$$(\frac{a^2}{b}+b-2a)+(\frac{b^2}{a}+a-2b) \geq \frac{4(a-b)^2}{a+b}$$

$$\frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(a-b)^2}{a} \geq \frac{4(a-b)^2}{a+b}$$

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}$$
BĐT đúng theo AM-GM: $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4$.
 
$b)$ BĐT tương đương với:
$$(\frac{a^2}{b}+b-2a)+(\frac{b^2}{c}+c-2b)+(\frac{c^2}{a}+a-2c) \geq \frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$$
$$\frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a} \geq \frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$$
BĐT đúng theo Cauchy-Schwarz: $VT=\frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(a-c)^2}{a} \geq \frac{(a-b+b-c+a-c)^2}{b+c+a}=\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}=VP$.


#3 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-01-2018 - 13:34

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$b) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$ 

 

Ta có

\[\text{VT - VP} = \frac{a(b^2-ca)^2+c(a^2-2ab+bc)^2+b(ab-2ca+c^2)^2}{abc(a+b+c)} \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Ngô Gia Tự( "bắp nhà chùa"), Phú Yên
  • Sở thích:Collect inequalities

Đã gửi 31-01-2018 - 19:02

Viết lại BĐT:
$\sum \frac{\left ( a- b \right )^{2}}{b}\geq \frac{4\left ( a- b \right )^{2}}{a+ b+ c}$

Dẫn tới:

$\left ( a+ b+ c \right )\sum \frac{\left ( a- b \right )^{2}}{b}\geq 4\left ( a- b \right )^{2}$

Điều này đúng vì:

$\left ( a+ b+ c \right )\sum \frac{\left ( a- b \right )^{2}}{b}\geq 4. max \left ( \left | a- b \right |, \left | b- c \right |, \left | c- a \right | \right )^{2}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh