Đến nội dung


Thông báo


Thời gian vừa qua chức năng nhập mã an toàn lúc đăng kí thành viên của diễn đàn đã hoạt động không ổn định, do đó có nhiều bạn đã không thể đăng kí thành viên. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết. Ban Quản Trị chân thành xin lỗi những thành viên đã gặp trục trặc lúc đăng kí.


Hình ảnh

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}\geq a+b+\frac{4(a-b)^2}{a+b}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 melodias2002

melodias2002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hoả

Đã gửi 22-01-2018 - 23:31

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$a) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}\geq a+b+\frac{4(a-b)^2}{a+b}$

$b) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$ 



#2 nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 23-01-2018 - 10:50

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$a) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}\geq a+b+\frac{4(a-b)^2}{a+b}$

$b) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$ 

$$\frac{a^2}{b}+b-2a=\frac{a^2+b^2-2ab}{b}=\frac{(a-b)^2}{b}$$

 

$a)$ BĐT tương đương với:

$$(\frac{a^2}{b}+b-2a)+(\frac{b^2}{a}+a-2b) \geq \frac{4(a-b)^2}{a+b}$$

$$\frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(a-b)^2}{a} \geq \frac{4(a-b)^2}{a+b}$$

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}$$
BĐT đúng theo AM-GM: $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4$.
 
$b)$ BĐT tương đương với:
$$(\frac{a^2}{b}+b-2a)+(\frac{b^2}{c}+c-2b)+(\frac{c^2}{a}+a-2c) \geq \frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$$
$$\frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a} \geq \frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$$
BĐT đúng theo Cauchy-Schwarz: $VT=\frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(a-c)^2}{a} \geq \frac{(a-b+b-c+a-c)^2}{b+c+a}=\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}=VP$.


#3 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-01-2018 - 13:34

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$b) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$ 

 

Ta có

\[\text{VT - VP} = \frac{a(b^2-ca)^2+c(a^2-2ab+bc)^2+b(ab-2ca+c^2)^2}{abc(a+b+c)} \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 669 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên
  • Sở thích:collect inequalities

Đã gửi 31-01-2018 - 19:02

Viết lại BĐT:
$\sum \frac{\left ( a- b \right )^{2}}{b}\geq \frac{4\left ( a- b \right )^{2}}{a+ b+ c}$

Dẫn tới:

$\left ( a+ b+ c \right )\sum \frac{\left ( a- b \right )^{2}}{b}\geq 4\left ( a- b \right )^{2}$

Điều này đúng vì:

$\left ( a+ b+ c \right )\sum \frac{\left ( a- b \right )^{2}}{b}\geq 4. max \left ( \left | a- b \right |, \left | b- c \right |, \left | c- a \right | \right )^{2}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh