Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh

$\frac{3}{x+yz}+\frac{4}{y+zx}+\frac{5}{z+xy}\geq 6$

bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry and my girl

Đã gửi 23-01-2018 - 22:53

Cho x, y, z>0 thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz\leq 4$

Chứng minh rằng 

$\frac{3}{x+yz}+\frac{4}{y+zx}+\frac{5}{z+xy}\geq 6$


DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-01-2018 - 13:50

Ta ccó $P=3\sum\dfrac{x}{y+zx}+\dfrac{1}{y+zx}+\dfrac{2}{z+xy}$\\

Theo bất đẳng thức cauchy-schwarz và cauchy ta có:

$$y+zx\le\sqrt{(y^2+x^2)(1+z^2)}\le\dfrac{1}{2}\dfrac{x^2+y^2+z^2+1}{2};\text{ Tương tự ta có: } z+xy\le\dfrac{x^2+y^2+z^2+1}{2}$$

Do đó suy ra được: $P\ge 3\sum\dfrac{3}{x+yz}+\dfrac{6}{x^2+y^2+z^2+1}$

Theo bất đẳng thức cauchy-schwarz ta lại có:

$$P=6\sum\dfrac{1}{2x+2yz}+6\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2+1}\ge\dfrac{6.16}{\sum x^2+2\sum xy+2\sum x+1}=\dfrac{96}{(x+y+z+1)^2}\hspace{1cm}(*)$$

Ta chứng minh:

$$x^2+y^2+z^2+xyz\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{3}+\dfrac{(x+y+z)^3}{27}\iff\sum 9(x-y)^2\ge\sum [\dfrac{x+y+z}{2}+3z](x-y)^2\hspace{1cm}[1]$$

Từ  $4\ge x^2+y^2+z^2+xyz\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{12}<4$ và $4>z^2\Rightarrow\dfrac{x+y+z}{2}+3z<2+6=8<9\implies [1]$ đúng.

Do đó $4\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{3}+\dfrac{(x+y+z)^3}{27}\Leftrightarrow t^3+9t^2-108\le 0\Leftrightarrow (t-3)(t^2+12t+36)\le 0\Leftrightarrow t=x+y+z\le 3$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $P\ge\dfrac{96}{(3+1)^2}=6$. Hoàn tất chứng minh.


Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#3 Khoa Linh

Khoa Linh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry and my girl

Đã gửi 24-01-2018 - 21:39

Cho x, y, z>0 thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz\leq 4$

Chứng minh rằng 

$\frac{3}{x+yz}+\frac{4}{y+zx}+\frac{5}{z+xy}\geq 6$

27332217_147487685963484_482960419792394

Nguồn: Thành Long 


DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh