Cho x, y, z>0 thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz\leq 4$
Chứng minh rằng
$\frac{3}{x+yz}+\frac{4}{y+zx}+\frac{5}{z+xy}\geq 6$
Cho x, y, z>0 thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz\leq 4$
Chứng minh rằng
$\frac{3}{x+yz}+\frac{4}{y+zx}+\frac{5}{z+xy}\geq 6$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Ta ccó $P=3\sum\dfrac{x}{y+zx}+\dfrac{1}{y+zx}+\dfrac{2}{z+xy}$\\
Theo bất đẳng thức cauchy-schwarz và cauchy ta có:
$$y+zx\le\sqrt{(y^2+x^2)(1+z^2)}\le\dfrac{1}{2}\dfrac{x^2+y^2+z^2+1}{2};\text{ Tương tự ta có: } z+xy\le\dfrac{x^2+y^2+z^2+1}{2}$$
Do đó suy ra được: $P\ge 3\sum\dfrac{3}{x+yz}+\dfrac{6}{x^2+y^2+z^2+1}$
Theo bất đẳng thức cauchy-schwarz ta lại có:
$$P=6\sum\dfrac{1}{2x+2yz}+6\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2+1}\ge\dfrac{6.16}{\sum x^2+2\sum xy+2\sum x+1}=\dfrac{96}{(x+y+z+1)^2}\hspace{1cm}(*)$$
Ta chứng minh:
$$x^2+y^2+z^2+xyz\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{3}+\dfrac{(x+y+z)^3}{27}\iff\sum 9(x-y)^2\ge\sum [\dfrac{x+y+z}{2}+3z](x-y)^2\hspace{1cm}[1]$$
Từ $4\ge x^2+y^2+z^2+xyz\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{12}<4$ và $4>z^2\Rightarrow\dfrac{x+y+z}{2}+3z<2+6=8<9\implies [1]$ đúng.
Do đó $4\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{3}+\dfrac{(x+y+z)^3}{27}\Leftrightarrow t^3+9t^2-108\le 0\Leftrightarrow (t-3)(t^2+12t+36)\le 0\Leftrightarrow t=x+y+z\le 3$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra $P\ge\dfrac{96}{(3+1)^2}=6$. Hoàn tất chứng minh.
Đề thi chọn đội tuyển HSG:
http://diendantoanho...date-2016-2017/
Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:
http://diendantoanho...topicfilter=all
Blog Thầy Trần Quang Hùng
http://analgeomatica.blogspot.com/
Hình học: Nguyễn Văn Linh
https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/
Toán học tuổi trẻ:
http://www.luyenthit...chi-thtt-online
Mathlink:http://artofproblemsolving.com
BẤT ĐẲNG THỨC:
http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/
http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/
Cho x, y, z>0 thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz\leq 4$
Chứng minh rằng
$\frac{3}{x+yz}+\frac{4}{y+zx}+\frac{5}{z+xy}\geq 6$
Nguồn: Thành Long
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh