Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{3}{x+yz}+\frac{4}{y+zx}+\frac{5}{z+xy}\geq 6$

bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

Cho x, y, z>0 thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz\leq 4$

Chứng minh rằng 

$\frac{3}{x+yz}+\frac{4}{y+zx}+\frac{5}{z+xy}\geq 6$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2
hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 240 Bài viết

Ta ccó $P=3\sum\dfrac{x}{y+zx}+\dfrac{1}{y+zx}+\dfrac{2}{z+xy}$\\

Theo bất đẳng thức cauchy-schwarz và cauchy ta có:

$$y+zx\le\sqrt{(y^2+x^2)(1+z^2)}\le\dfrac{1}{2}\dfrac{x^2+y^2+z^2+1}{2};\text{ Tương tự ta có: } z+xy\le\dfrac{x^2+y^2+z^2+1}{2}$$

Do đó suy ra được: $P\ge 3\sum\dfrac{3}{x+yz}+\dfrac{6}{x^2+y^2+z^2+1}$

Theo bất đẳng thức cauchy-schwarz ta lại có:

$$P=6\sum\dfrac{1}{2x+2yz}+6\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2+1}\ge\dfrac{6.16}{\sum x^2+2\sum xy+2\sum x+1}=\dfrac{96}{(x+y+z+1)^2}\hspace{1cm}(*)$$

Ta chứng minh:

$$x^2+y^2+z^2+xyz\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{3}+\dfrac{(x+y+z)^3}{27}\iff\sum 9(x-y)^2\ge\sum [\dfrac{x+y+z}{2}+3z](x-y)^2\hspace{1cm}[1]$$

Từ  $4\ge x^2+y^2+z^2+xyz\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{12}<4$ và $4>z^2\Rightarrow\dfrac{x+y+z}{2}+3z<2+6=8<9\implies [1]$ đúng.

Do đó $4\ge\dfrac{(x+y+z)^2}{3}+\dfrac{(x+y+z)^3}{27}\Leftrightarrow t^3+9t^2-108\le 0\Leftrightarrow (t-3)(t^2+12t+36)\le 0\Leftrightarrow t=x+y+z\le 3$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $P\ge\dfrac{96}{(3+1)^2}=6$. Hoàn tất chứng minh.


Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#3
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

Cho x, y, z>0 thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz\leq 4$

Chứng minh rằng 

$\frac{3}{x+yz}+\frac{4}{y+zx}+\frac{5}{z+xy}\geq 6$

27332217_147487685963484_482960419792394

Nguồn: Thành Long 


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh