Chủ đề này có 1 trả lời

[ngonluahoangkim]

cho a,bc >0 thoả mãn a+b+c=3. chứng minh 

                          $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

 

[DOTOANNANG]

cho a,bc >0 thoả mãn a+b+c=3. chứng minh 

                          $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

Viết lại BĐT dưới dạng $a^{2}+ 2\sqrt{a}+ b^{2}+ 2\sqrt{b}+ c^{2}+ 2\sqrt{c}\geq a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ 2ab+ 2bc+ 2ca= \left (a+ b+ c \right )^{2}= 9$

Mặt khác từ BĐT AM- GM, ta có:

$a^{2}+ 2\sqrt{a}= a^{2}+ \sqrt{a}+ \sqrt{a}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}.a}= 3a$

$b^{2}+ 2\sqrt{b}= b^{2}+ \sqrt{b}+ \sqrt{b}\geq 3\sqrt[3]{b^{2}.b}= 3b$

$c^{2}+ 2\sqrt{c}= c^{2}+  \sqrt{c}+ \sqrt{c}\geq 3\sqrt[3]{c^{2}.c}= 3c$

Suy ra:

$a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ 2\left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c} \right )\geq 3\left ( a+ b+ c \right )\geq 9$