Chủ đề này có 3 trả lời

[Sudden123]

Tìm nghiệm nguyên
$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$

[An Infinitesimal]

Tìm nghiệm nguyên
$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$

 

Giả sử $(x,y)$  là một nghiệm nguyên của PT.

Dễ dàng thấy $\sqrt{x}, x+\sqrt{x}, \sqrt{x+\sqrt{x}}$ là các số nguyên.

 

Đặt $t=\sqrt{x}\in \mathbb{Z}.$ 

Suy ra $t^2+t\in \mathbb{Z}$ và $t^2+t$ là số chính phương.

Vì thế tồn tại sớ nguyên không âm $z$ sao cho $t^2+t=w^2$.

 

$$\iff (2t+1)^2=4w^2+1 \iff  (2t+1-w)(2t+1-w)=1.$$

Vì t, w\ge 0 nên $2t+1+w=1$. Do đó $t=w=0.$

Suy ra $x=y=0.$

 

Hơn nữa, ta có thể kiểm tra $(x,y)=(0,0)$ là nghiệm của PT. 

PT chỉ có duy nhất nghiệm: $(x,y)=(0,0)$.

[Khoa Linh]

Giả sử $(x,y)$  là một nghiệm nguyên của PT.

Dễ dàng thấy $\sqrt{x}, x+\sqrt{x}, \sqrt{x+\sqrt{x}}$ là các số nguyên.

 

Đặt $t=\sqrt{x}\in \mathbb{Z}.$ (t>=0)

Suy ra $t^2+t\in \mathbb{Z}$ và $t^2+t$ là số chính phương.

Vì thế tồn tại sớ nguyên không âm $w$ sao cho $t^2+t=w^2$.

Đến đây dùng pp kẹp sẽ nhanh hơn 

Ta có: $t^2\leq t^2+t=w^2<(t+1)^2\Rightarrow t^2+t=w^2=t^2=> t=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 04-02-2018 - 19:44

[An Infinitesimal]

Đến đây dùng pp kẹp sẽ nhanh hơn 

Ta có: $t^2\leq t^2+t=w^2<(t+1)^2\Rightarrow t^2+t=w^2=t^2=> t=0$

 

OK! Ban đầu cũng nghĩ đến nó nhưng "quên" dùng đến $t\ge 0$ để xử lý cái kẹp.