Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Sudden123

Sudden123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

Đã gửi 26-01-2018 - 21:32

Tìm nghiệm nguyên
$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$

#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1806 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 04-02-2018 - 19:41

Tìm nghiệm nguyên
$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$

 

Giả sử $(x,y)$  là một nghiệm nguyên của PT.

Dễ dàng thấy $\sqrt{x}, x+\sqrt{x}, \sqrt{x+\sqrt{x}}$ là các số nguyên.

 

Đặt $t=\sqrt{x}\in \mathbb{Z}.$ 

Suy ra $t^2+t\in \mathbb{Z}$ và $t^2+t$ là số chính phương.

Vì thế tồn tại sớ nguyên không âm $z$ sao cho $t^2+t=w^2$.

 

$$\iff (2t+1)^2=4w^2+1 \iff  (2t+1-w)(2t+1-w)=1.$$

Vì t, w\ge 0 nên $2t+1+w=1$. Do đó $t=w=0.$

Suy ra $x=y=0.$

 

Hơn nữa, ta có thể kiểm tra $(x,y)=(0,0)$ là nghiệm của PT. 

PT chỉ có duy nhất nghiệm: $(x,y)=(0,0)$.


Đời người là một hành trình...


#3 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 04-02-2018 - 19:44

Giả sử $(x,y)$  là một nghiệm nguyên của PT.

Dễ dàng thấy $\sqrt{x}, x+\sqrt{x}, \sqrt{x+\sqrt{x}}$ là các số nguyên.

 

Đặt $t=\sqrt{x}\in \mathbb{Z}.$ (t>=0)

Suy ra $t^2+t\in \mathbb{Z}$ và $t^2+t$ là số chính phương.

Vì thế tồn tại sớ nguyên không âm $w$ sao cho $t^2+t=w^2$.

Đến đây dùng pp kẹp sẽ nhanh hơn 

Ta có: $t^2\leq t^2+t=w^2<(t+1)^2\Rightarrow t^2+t=w^2=t^2=> t=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 04-02-2018 - 19:44

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#4 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1806 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 04-02-2018 - 21:03

Đến đây dùng pp kẹp sẽ nhanh hơn 

Ta có: $t^2\leq t^2+t=w^2<(t+1)^2\Rightarrow t^2+t=w^2=t^2=> t=0$

 

OK! Ban đầu cũng nghĩ đến nó nhưng "quên" dùng đến $t\ge 0$ để xử lý cái kẹp.


Đời người là một hành trình...





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh