Chủ đề này có 4 trả lời

[lelehieu2002]

Nhờ mọi người giải giùm:

[Duy Thai2002]

gợi ý là dùng hệ thức jacobi

[DOTOANNANG]

Nhờ mọi người giải giùm:

567.png

a. $\frac{DB}{DC}= \frac{c}{b}\Rightarrow \frac{BC}{DC}= \frac{c+ b}{b} \Rightarrow DC= \frac{ab}{a+ c}$

Tương tự $DB= \frac{ac}{b+ c}$

$ BI$ là phân giác trong tam giác $ ABD$

$\Rightarrow \frac{IA}{ID}= \frac{c\left ( b+ c \right )}{ac}= \frac{b+ c}{a}\Rightarrow \vec{ID}= \frac{-a}{b+ c}\vec{IA}$G

Giờ cần chứng minh:

$\vec{ID}= \frac{b\vec{IB}+ c\vec{IC}}{b+ c}$

$\vec{ID}= \vec{IB}+ \vec{BD}\Rightarrow DC. \vec{ID}= DC. \vec{IB}+ DC. \vec{BD}$

$\vec{ID}= \vec{IC}+ \vec{CD}\Rightarrow DC. \vec{ID}= DC. \vec{IC}+ DC. \vec{CD}$

$\Rightarrow a\vec{ID}= \frac{ab}{b+ c}\vec{IB}+ \frac{ac}{b+ c}\vec{IC}+ \left ( DC. \vec{BD}+ BD. \vec{CD} \right )\Rightarrow \vec{ID}= \frac{b. \vec{IB}}{b+ c}+ \frac{c. \vec{IC}}{b+ c}$

Từ đó suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 29-01-2018 - 09:28

[DOTOANNANG]

Nhờ mọi người giải giùm:

567.png

b. Giả sử tam giác $ ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $ (O)$ và có trọng tâm $ G$, ta có:

$\vec{OA}+ \vec{OB}+ \vec{OC}= \left ( \vec{GA}- \vec{GO} \right )+ \left ( \vec{GB}- \vec{GO} \right )+ \left ( \vec{GC}- \vec{GO} \right )= \vec{GA}^{2}+ \vec{GB}^{2}+ \vec{GC}^{2}- 2\vec{GO}\left ( \vec{GA}+ \vec{GB}+ \vec{GC} \right )+ 3\vec{GO}^{2}$

Do $ OA= OB= OC= R$ và $ \vec{GA}+ \vec{GB}+ \vec{GC}= \vec{0}$

nên $3R^{2}= GA^{2}+ GB^{2}+ GC^{2}+ 3d^{2}$

Mặt khác, $GA^{2}+ GB^{2}+ GC^{2}= \frac{4}{9}\left ( m_{a}^{2}+ m_{b}^{2}+ m_{c}^{2}\right )= \frac{4}{9}\left ( \frac{b^{2}+ c^{2}}{2}- \frac{a^{2}}{4}+ \frac{c^{2}+ a^{2}}{2}- \frac{b^{2}}{4}+ \frac{a^{2}+ b^{2}}{2}- \frac{c^{2}}{4} \right )= \frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{3}\Rightarrow 9R^{2}= a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ 9d^{2}$

Tư đó suy ra được điều phải chứng minh

[DOTOANNANG]

b. Cách 2:

 

Do H là trực tâm tam giác ABC nên :

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

=> $\overrightarrow{OH}^{2}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^2$

=>$OH^{2}=(OA^{2}+OB^{2}+OC^{2})+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}$

$OH^{2}=3R^{2}+ \sum (OA^{2}+OB^{2}-AB^{2})$

=>$OH^{2}=9R^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}$