Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc+c+a=b.
Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$
Đã gửi 01-02-2018 - 12:46
Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc+c+a=b.
Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$
BLACKPINK IN YOUR AREA
Đã gửi 02-02-2018 - 16:20
Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc+c+a=b.
Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$
Từ đk suy ra $b=\frac{c+a}{1-ca}$.
Ta có $1+b^2=1+(\frac{c+a}{1-ca})^2=\frac{(1-ca)^2+(c+a)^2}{(1-ca)^2}=\frac{(c^2+1)(a^2+1)}{(1-ca)^2}$.
Do đó $P=\frac{2(1+c^2)-2(1-ca)^2+3(1+a^2)}{(c^2+1)(a^2+1)}=\frac{3-2c^2a^2+2c^2+3a^2+4ca}{(c^2+1)(a^2+1)}$
Ta sẽ chứng minh $P \leq \frac{10}{3}$ hay $3(3-2c^2a^2+2c^2+3a^2+4ca) \leq 10(c^2+1)(a^2+1)$.
BĐT tương đương với $12ca \leq 16c^2a^2+4c^2+a^2+1$, hay $(2c-a)^2+(4ca-1)^2 \geq 0$.
BĐT hiển nhiên đúng. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=2c$ và $ca=\frac{1}{4}$, hay $a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=\sqrt{2},c=\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của P=√(1-x^2) +√(1-y^2) +√(1-z^2)Bắt đầu bởi Lam9777, 03-09-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Lượng giác →
Công thức lượng giác, hàm số lượng giác →
Tìm Min, Max (nếu có) của các tích sau:Bắt đầu bởi nhvn, 17-05-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Mục các bài toán bất đẳng thức ( phần 2 )Bắt đầu bởi Yaya, 15-02-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Với hai số dương thỏa mãn x+y=2. tìm maxBắt đầu bởi binhthanh, 12-12-2019 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho a, b>0 thỏa mãn a+b>=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:Bắt đầu bởi Gaconganhteam, 14-05-2019 ![]() |
|
![]() |
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh