Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$

gtln max

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 01-02-2018 - 12:46

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc+c+a=b.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$


BLACKPINK IN YOUR AREA 


#2 nmtuan2001

nmtuan2001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 02-02-2018 - 16:20

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc+c+a=b.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$

Từ đk suy ra $b=\frac{c+a}{1-ca}$. 

Ta có $1+b^2=1+(\frac{c+a}{1-ca})^2=\frac{(1-ca)^2+(c+a)^2}{(1-ca)^2}=\frac{(c^2+1)(a^2+1)}{(1-ca)^2}$.

Do đó $P=\frac{2(1+c^2)-2(1-ca)^2+3(1+a^2)}{(c^2+1)(a^2+1)}=\frac{3-2c^2a^2+2c^2+3a^2+4ca}{(c^2+1)(a^2+1)}$

Ta sẽ chứng minh $P \leq \frac{10}{3}$ hay $3(3-2c^2a^2+2c^2+3a^2+4ca) \leq 10(c^2+1)(a^2+1)$.

BĐT tương đương với $12ca \leq 16c^2a^2+4c^2+a^2+1$, hay $(2c-a)^2+(4ca-1)^2 \geq 0$.

BĐT hiển nhiên đúng. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=2c$ và $ca=\frac{1}{4}$, hay $a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=\sqrt{2},c=\frac{1}{2\sqrt{2}}$.







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh