Chủ đề này có 1 trả lời

[Khoa Linh]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc+c+a=b.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$

[nmtuan2001]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc+c+a=b.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$

Từ đk suy ra $b=\frac{c+a}{1-ca}$. 

Ta có $1+b^2=1+(\frac{c+a}{1-ca})^2=\frac{(1-ca)^2+(c+a)^2}{(1-ca)^2}=\frac{(c^2+1)(a^2+1)}{(1-ca)^2}$.

Do đó $P=\frac{2(1+c^2)-2(1-ca)^2+3(1+a^2)}{(c^2+1)(a^2+1)}=\frac{3-2c^2a^2+2c^2+3a^2+4ca}{(c^2+1)(a^2+1)}$

Ta sẽ chứng minh $P \leq \frac{10}{3}$ hay $3(3-2c^2a^2+2c^2+3a^2+4ca) \leq 10(c^2+1)(a^2+1)$.

BĐT tương đương với $12ca \leq 16c^2a^2+4c^2+a^2+1$, hay $(2c-a)^2+(4ca-1)^2 \geq 0$.

BĐT hiển nhiên đúng. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=2c$ và $ca=\frac{1}{4}$, hay $a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=\sqrt{2},c=\frac{1}{2\sqrt{2}}$.