Tính tích phân:
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}} dx$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ijkm: 01-02-2018 - 13:42
Tính tích phân:
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}} dx$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ijkm: 01-02-2018 - 13:42
Đã tìm ra cách giải!
$= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$
$= -\frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$ (loại)
Vậy, đáp số là $= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ijkm: 03-02-2018 - 19:11
Đã tìm ra cách giải!
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-2\sqrt{(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$Nhận thấy bên trong căn có dạng:$(A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}$$\Leftrightarrow (A^{2}+B^{2})x + \frac{1}{2}(A^{2}-B^{2}) + 2AB\sqrt{(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})}$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A^{2} + B^{2} = 2 & & \\ A^{2} - B^{2} = 0 & & \\ AB = -1 & & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A = 1 & \\ B = -1 & \end{matrix}\right.v \left\{\begin{matrix} A = -1 & \\ B = 1 & \end{matrix}\right.$Với $A = 1, B = -1$$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}}dx$$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}}}dx$= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$$= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$
Với $A = -1, B = 1$$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x-\frac{1}{2}}- \sqrt{x+\frac{1}{2}})^{2} }dx$$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x-\frac{1}{2}} - \sqrt{x+\frac{1}{2}}}dx$= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$$= -\frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$ (loại)
Vậy, đáp số là $= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$
Quá công phu
Đã tìm ra cách giải!
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-2\sqrt{(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$Nhận thấy bên trong căn có dạng:$(A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}$$\Leftrightarrow (A^{2}+B^{2})x + \frac{1}{2}(A^{2}-B^{2}) + 2AB\sqrt{(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})}$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A^{2} + B^{2} = 2 & & \\ A^{2} - B^{2} = 0 & & \\ AB = -1 & & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A = 1 & \\ B = -1 & \end{matrix}\right.v \left\{\begin{matrix} A = -1 & \\ B = 1 & \end{matrix}\right.$Với $A = 1, B = -1$$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}}dx$$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}}}dx$= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$$= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$
Với $A = -1, B = 1$$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x-\frac{1}{2}}- \sqrt{x+\frac{1}{2}})^{2} }dx$$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x-\frac{1}{2}} - \sqrt{x+\frac{1}{2}}}dx$= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$$= -\frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$ (loại)
Vậy, đáp số là $= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$
Có thể làm "gọn gàng" hơn :
$I=...=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\sqrt{2x-2\sqrt{\left ( x+\frac{1}{2} \right )\left ( x-\frac{1}{2} \right )}}\ dx=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\sqrt{\left ( A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}} \right )^2}\ dx$
$=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\left | A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}} \right |\ dx$
Vì $\left | A \right |=\left | B \right |=1$ ; $A.B< 0$ và $\sqrt{x+\frac{1}{2}}> \sqrt{x-\frac{1}{2}}$ nên :
$\left | A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}} \right |=\left | -\sqrt{x+\frac{1}{2}}+\sqrt{x-\frac{1}{2}} \right |=\left | \sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}} \right |=\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}}$
$\Rightarrow I=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\left ( \sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}} \right )\ dx=\left [ \frac{2}{3}\left ( x+\frac{1}{2} \right )^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{\frac{3}{2}} \right ]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-02-2018 - 07:28
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh