Đến nội dung

Hình ảnh

Tính tích phân: $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}} dx$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
ijkm

ijkm

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

Tính tích phân:

 

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}} dx$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ijkm: 01-02-2018 - 13:42


#2
ijkm

ijkm

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

Đã tìm ra cách giải!  :D

 

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$
$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$
$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-2\sqrt{(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$
 
Nhận thấy bên trong căn có dạng:
$(A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}$
$\Leftrightarrow (A^{2}+B^{2})x + \frac{1}{2}(A^{2}-B^{2}) + 2AB\sqrt{(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A^{2} + B^{2} = 2 & & \\ A^{2} - B^{2} = 0 & & \\ AB = -1 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A = 1 & \\ B = -1 & \end{matrix}\right.v \left\{\begin{matrix} A = -1 & \\ B = 1 & \end{matrix}\right.$
 
Với $A = 1, B = -1$
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}}dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}}}dx$
= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$

$= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$

 

Với $A = -1, B = 1$
 
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x-\frac{1}{2}}- \sqrt{x+\frac{1}{2}})^{2} }dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x-\frac{1}{2}} - \sqrt{x+\frac{1}{2}}}dx$
= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$

$= -\frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$ (loại)

 

Vậy, đáp số là $= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ijkm: 03-02-2018 - 19:11


#3
lmht

lmht

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

 

Đã tìm ra cách giải!  :D

 

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$
$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$
$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-2\sqrt{(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$
 
Nhận thấy bên trong căn có dạng:
$(A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}$
$\Leftrightarrow (A^{2}+B^{2})x + \frac{1}{2}(A^{2}-B^{2}) + 2AB\sqrt{(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A^{2} + B^{2} = 2 & & \\ A^{2} - B^{2} = 0 & & \\ AB = -1 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A = 1 & \\ B = -1 & \end{matrix}\right.v \left\{\begin{matrix} A = -1 & \\ B = 1 & \end{matrix}\right.$
 
Với $A = 1, B = -1$
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}}dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}}}dx$
= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$

$= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$

 

Với $A = -1, B = 1$
 
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x-\frac{1}{2}}- \sqrt{x+\frac{1}{2}})^{2} }dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x-\frac{1}{2}} - \sqrt{x+\frac{1}{2}}}dx$
= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$

$= -\frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$ (loại)

 

Vậy, đáp số là $= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$

 

 

Quá công phu  :ukliam2:



#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

 

Đã tìm ra cách giải!  :D

 

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$
$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$
$= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-2\sqrt{(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}}dx$
 
Nhận thấy bên trong căn có dạng:
$(A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}$
$\Leftrightarrow (A^{2}+B^{2})x + \frac{1}{2}(A^{2}-B^{2}) + 2AB\sqrt{(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A^{2} + B^{2} = 2 & & \\ A^{2} - B^{2} = 0 & & \\ AB = -1 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A = 1 & \\ B = -1 & \end{matrix}\right.v \left\{\begin{matrix} A = -1 & \\ B = 1 & \end{matrix}\right.$
 
Với $A = 1, B = -1$
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}})^{2}}dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}}}dx$
= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$

$= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$

 

Với $A = -1, B = 1$
 
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2x-\sqrt{4x^{2}-1}}dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{(\sqrt{x-\frac{1}{2}}- \sqrt{x+\frac{1}{2}})^{2} }dx$
$=  \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\sqrt{x-\frac{1}{2}} - \sqrt{x+\frac{1}{2}}}dx$
= $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{2})\sqrt{x-\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}(x+\frac{1}{2})\sqrt{x+\frac{1}{2}}\left.\begin{matrix}\frac{3}{2} & \\ \frac{1}{2} & \end{matrix}\right|$

$= -\frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$ (loại)

 

Vậy, đáp số là $= \frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$

 

 

Có thể làm "gọn gàng" hơn :

$I=...=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\sqrt{2x-2\sqrt{\left ( x+\frac{1}{2} \right )\left ( x-\frac{1}{2} \right )}}\ dx=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\sqrt{\left ( A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}} \right )^2}\ dx$

$=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\left | A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}} \right |\ dx$

Vì $\left | A \right |=\left | B \right |=1$ ; $A.B< 0$ và $\sqrt{x+\frac{1}{2}}> \sqrt{x-\frac{1}{2}}$ nên :

$\left | A\sqrt{x+\frac{1}{2}}+B\sqrt{x-\frac{1}{2}} \right |=\left | -\sqrt{x+\frac{1}{2}}+\sqrt{x-\frac{1}{2}} \right |=\left | \sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}} \right |=\sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}}$

$\Rightarrow I=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\left ( \sqrt{x+\frac{1}{2}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}} \right )\ dx=\left [ \frac{2}{3}\left ( x+\frac{1}{2} \right )^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{\frac{3}{2}} \right ]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3} (\sqrt{2}-1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-02-2018 - 07:28

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh