Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Xác định tất cả hàm số $f:\mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn:

$$f(x^2-y^2)=f(x)f(y)\,\forall x>y$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 05-02-2018 - 22:04

[namcpnh]

Giả sử hàm số $f:\mathbb{N}^*\Rightarrow\mathbb{N}^*$

thỏa mãn:

$$f(x^2-y^2)=f(x)f(y)\,\forall x>y$$

Đặt $a=x+y,\,b=x-y$, ta có: $f(ab)=f(\frac{a+b}{2})f(\frac{a-b}{2})$ với $a\geq b,\,a\equiv b(mod2)$(1)

$T_{(1)}(a,a)\Rightarrow f(a^2)=f(a)f(0)$

Cho $a=0$, ta được: $f(0)=0$ hay $f(0)=1$

Nếu $f(0)=1$:

Ta chứng minh $f(n)=1$ với mọi n:

Giả sử $f(n)=1$ với mọi $n\leqslant m$:

Nếu $m+1=2a$:

$T_{(1)}(2a,0)\Rightarrow f(0)=f(2a)^2\Rightarrow f(2a)=1$

Nếu $m+1=2a+1:$

$T_{(1)}(2a+1,1)\Rightarrow f(2a+1)=f(a+1)f(a+1)=1$

Vậy $f(n)=1$, cmtt khi $f(0)=0$.

Kết luận: $f(n)=1\forall n\,\text{hay}\,f(n)=0\forall n$