Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhdat2003]

Cho 3 số thực a,b,c >0 .Chứng minh rằng

$\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geqslant 1$

[Khoa Linh]

Cho 3 số thực a,b,c >0 .Chứng minh rằng

$\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geqslant 1$

Bài này quen thuộc 

$\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\sum \sqrt{\frac{1}{1+\left ( \frac{b+c}{a} \right )^3}}=\sum \frac{1}{\sqrt{1+x^3}}=\sum \frac{1}{\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}}\geq \sum \frac{2}{x+1+x^2-x+1}=\sum \frac{2}{x^2+2}=\sum \frac{2}{\left ( \frac{b+c}{a} \right )^2+2}=\sum \frac{2a^2}{(b+c)^2+2a^2}\geq \sum \frac{2a^2}{2(b^2+c^2)+2a^2}=1$

với x=b+c/a; y=c+a/b; z=a+b/c