Chủ đề này có 6 trả lời

[bangbang1412]

Trong định nghĩa tích phân suy rộng loại $2$, cụ thể là cho một hàm $f$ trên đoạn $[a,b)$ sao cho $f$ có điểm bất thường tại $b$, tức là tập $\left \{f(x) | x \in [b-\epsilon , b) \right \}$ không bị chặn với $\epsilon > 0$ nào đó. Khi đó nếu $f$ là $\alpha - $ khả tích trên mọi đoạn $[a, b - \epsilon]$ thì định nghĩa:

$$\int_{a}^{b} f d\alpha = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_{a}^{b - \epsilon} f d\alpha$$

khi giới hạn bên phải tồn tại. Câu hỏi của mình là điểm bất thường ảnh hưởng như thế nào trong định nghĩa trên?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 03-02-2018 - 00:59

[vutuanhien]

Trong định nghĩa tích phân suy rộng loại $2$, cụ thể là cho một hàm $f$ trên đoạn $[a,b)$ sao cho $f$ có điểm bất thường tại $b$, tức là tập $\left \{f(x) | x \in [b-\epsilon , b) \right \}$ không bị chặn với $\epsilon > 0$ nào đó. Khi đó nếu $f$ là $\alpha - $ khả tích trên mọi đoạn $[a, b - \epsilon]$ thì định nghĩa:

$$\int_{a}^{b} f d\alpha = \lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_{a}^{b - \epsilon} f d\alpha$$

khi giới hạn bên phải tồn tại. Câu hỏi của mình là điểm bất thường ảnh hưởng như thế nào trong định nghĩa trên?

Định nghĩa của tích phân Riemann thông thường, là hàm $f$ phải bị chặn trên toàn bộ đoạn $[a, b]$. Vậy thì việc xuất hiện điểm bất thường $b$ đương nhiên là ảnh hưởng đến định nghĩa rồi. Lúc đó lấy phân hoạch với đường kính đủ nhỏ, thì ở đoạn chứa $b$ sẽ không thể lấy cận trên đúng của hàm $f$ để mà tính tổng Darboux. 

[bangbang1412]

Định nghĩa của tích phân Riemann thông thường, là hàm $f$ phải bị chặn trên toàn bộ đoạn $[a, b]$. Vậy thì việc xuất hiện điểm bất thường $b$ đương nhiên là ảnh hưởng đến định nghĩa rồi. Lúc đó lấy phân hoạch với đường kính đủ nhỏ, thì ở đoạn chứa $b$ sẽ không thể lấy cận trên đúng của hàm $f$ để mà tính tổng Darboux. 

Chưa thấy hiểu lắm? Định nghĩa trên rõ ràng ổn, nếu bỏ đi cái định nghĩa điểm bất thường thì vẫn không sao, vì giả thiết đã ghi nếu giới hạn bên phải tồn tại.

[vutuanhien]

Chưa thấy hiểu lắm? Định nghĩa trên rõ ràng ổn, nếu bỏ đi cái định nghĩa điểm bất thường thì vẫn không sao, vì giả thiết đã ghi nếu giới hạn bên phải tồn tại.

Bỏ đi định nghĩa điểm bất thường, thì như vậy đâu có làm rõ và phân biệt được thế nào là tích phân suy rộng loại 2? Với tích phân xác định thông thường, thì rõ ràng đẳng thức trên lúc nào cũng đúng. 

[bangbang1412]

Bỏ đi định nghĩa điểm bất thường, thì như vậy đâu có làm rõ và phân biệt được thế nào là tích phân suy rộng loại 2? Với tích phân xác định thông thường, thì rõ ràng đẳng thức trên lúc nào cũng đúng. 

Thì để phân biệt tích phân suy rộng loại $2$ với loại $1$ thì coi $b$ hữu hạn, tức là trên đoạn $[a,b)$, còn định nghĩa thì chỉ cần $f$ xác định trên $[a,b)$, $\alpha$ khả tích trên $[a,b-\epsilon]$ và $\int_{a}^{b}f = \lim \int_{a}^{b - \epsilon}f $ ?? 

[vutuanhien]

Thì để phân biệt tích phân suy rộng loại $2$ với loại $1$ thì coi $b$ hữu hạn, tức là trên đoạn $[a,b)$, còn định nghĩa thì chỉ cần $f$ xác định trên $[a,b)$, $\alpha$ khả tích trên $[a,b-\epsilon]$ và $\int_{a}^{b}f = \lim \int_{a}^{b - \epsilon}f $ ?? 

Tích phân thông thường cũng có tính chất y hệt như thế em nhé. Người ta cho thêm điểm bất thường vào là để nhấn mạnh rằng tích phân suy rộng loại 2 nó khác tích phân thông thường ở chỗ nào.

[bangbang1412]

Tích phân thông thường cũng có tính chất y hệt như thế em nhé. Người ta cho thêm điểm bất thường vào là để nhấn mạnh rằng tích phân suy rộng loại 2 nó khác tích phân thông thường ở chỗ nào.

Tích phân " Riemann " thì liên tục, còn " Riemann Stieljes " thì không.