Đến nội dung

Hình ảnh

cho a,b,c>0

help

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ngonluahoangkim

ngonluahoangkim

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

$(a^{5}-a^{2}+3)(b^{5}-b^{2}+3)(c^{5}-c^{2}+3)\geq (a+b+c)^3$



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$(a^{5}-a^{2}+3)(b^{5}-b^{2}+3)(c^{5}-c^{2}+3)\geq (a+b+c)^3$

CM: $x^{5}+ 1\geq x^{3}+ x^{2}$

Thật vậy, ta có: 

$\frac{2}{5}x^{5}+ \frac{3}{5}\geq x^{2}$

$\frac{3}{5}x^{2}+ \frac{2}{5}\geq x^{3}$

BĐT cần chứng minh trở thành:

$\prod_{cyc}^{ }\left ( a^{3}+ 2 \right )\geq \left ( a+ b+ c \right )^{3}$

Đặt: $x= \sqrt{a}, y= \sqrt{b}, z= \sqrt{c}$

CM: $\prod_{cyc}^{ }\left ( x^{6}+ 2 \right )\geq \left ( x^{2}+ y^{2}+ z^{2} \right )^{3}$

$\prod_{cyc}^{ }\left ( x^{6}+ 1+ 1 \right )\geq 3\left ( x^{6}+ 1+ y^{6} \right )\left ( 1+ z^{6}+ 1 \right )\geq \left ( x^{3}+ y^{3}+ z^{3} \right )^{2}$

Chybeshev, Cauchy Schwarz:

$3\left ( x^{3}+ y^{3}+ z^{3} \right )\geq \left ( x^{2}+ y^{2}+ z^{2} \right )\left ( x+ y+ z \right )$

$\left ( x^{3}+ y^{3}+ z^{3} \right )\left ( x+ y+ z \right )\geq \left ( x^{2}+ y^{2}+ z^{2} \right )^{3}$

Từ đó, suy ra đpcm.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: help

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh