Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab}\geq 1$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Korosensei

Korosensei

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Thích học toán, xem anime

Đã gửi 07-02-2018 - 18:52

Câu 1: $a,b,c>0$ và a+b+c=3 . Chứng minh :

$\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab}\geq 1$.

Câu 2: Cho a,bc>0. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$

Câu 3: $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$.

Các bài này đều sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swatch đúng không ạ nhưng mình vẫn dùng quen lắm. Mọi người giúp đỡ ạ.

 



#2 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 07-02-2018 - 19:33

2)

$P=\frac{a^{4}}{a^{2}+2ab}+\frac{b^{4}}{b^{2}+2bc}+\frac{c^{4}}{c^{2}+2ac}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a+b+c)^{2}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$

Do $(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 07-02-2018 - 19:35

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#3 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 08-02-2018 - 00:51

Câu 1: $a,b,c>0$ và a+b+c=3 . Chứng minh :

$\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab}\geq 1$.

Trước hết ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=3 \Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6abc$

Ta có:

$\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab}=\frac{a^2}{a^2+2abc}+\frac{b^2}{b^2+2abc}+\frac{c^2}{c^2+2abc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6abc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=1$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 10-02-2018 - 09:48

\[\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+ c^{2}}\geq \frac{3}{2}\frac{\sum a^{3}}{\sum a^{2}}\]

CM: \[\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+ c^{2}}\geq \frac{\left ( \sum a^{3} \right )^{2}}{\sum a^{3}\left ( b^{2}+ c^{2} \right )}\]

\[2\left ( \sum a^{3} \right )\left ( \sum a^{2} \right )- 3\sum a^{3}\left ( b^{2}+ c^{2} \right )\geq 0\]

\[\Leftrightarrow \sum \left ( a+ b \right )\left ( a^{2}+ ab+ b^{2} \right )\left ( a- b \right )^{2}\geq 0\]







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh