Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab}\geq 1$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Korosensei

Korosensei

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

Câu 1: $a,b,c>0$ và a+b+c=3 . Chứng minh :

$\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab}\geq 1$.

Câu 2: Cho a,bc>0. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$

Câu 3: $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$.

Các bài này đều sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swatch đúng không ạ nhưng mình vẫn dùng quen lắm. Mọi người giúp đỡ ạ.

 



#2
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

2)

$P=\frac{a^{4}}{a^{2}+2ab}+\frac{b^{4}}{b^{2}+2bc}+\frac{c^{4}}{c^{2}+2ac}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a+b+c)^{2}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$

Do $(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 07-02-2018 - 19:35

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#3
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

Câu 1: $a,b,c>0$ và a+b+c=3 . Chứng minh :

$\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab}\geq 1$.

Trước hết ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=3 \Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6abc$

Ta có:

$\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab}=\frac{a^2}{a^2+2abc}+\frac{b^2}{b^2+2abc}+\frac{c^2}{c^2+2abc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6abc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=1$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#4
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

\[\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+ c^{2}}\geq \frac{3}{2}\frac{\sum a^{3}}{\sum a^{2}}\]

CM: \[\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+ c^{2}}\geq \frac{\left ( \sum a^{3} \right )^{2}}{\sum a^{3}\left ( b^{2}+ c^{2} \right )}\]

\[2\left ( \sum a^{3} \right )\left ( \sum a^{2} \right )- 3\sum a^{3}\left ( b^{2}+ c^{2} \right )\geq 0\]

\[\Leftrightarrow \sum \left ( a+ b \right )\left ( a^{2}+ ab+ b^{2} \right )\left ( a- b \right )^{2}\geq 0\]







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh