Chủ đề này có 1 trả lời

[Katyusha]

Xét tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB=BC=CD=DA=1$ và $AC,BD$ thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $ABCD$ bằng?

 

 

Hình gửi kèm

• 

[vkhoa]

Xét tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB=BC=CD=DA=1$ và $AC,BD$ thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $ABCD$ bằng?

Đặt $AC$ =x,$BD$ =y

gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm $AC, BD$

có $EF$ vuông góc với $AC, BD$

có $mp(BDE)\perp AC$

$V_{ABCD} =2V_{ABDE} =\frac23 .AE .S_{BED} =\frac23 .AE .EF .BF $

$=\frac23 .\frac x2 .\frac y2 .EF$ (1)

$EF^2 =BE^2 -\frac{y^2}4 =1 -\frac{x^2}4 -\frac{y^2}4$

$V_{ABCD}^2 =\frac1{144} .x^2 .y^2 .(4 -x^2 -y^2)\leqslant \frac1{144} .\left(\frac{x^2 +y^2 +(4 -x^2 -y^2)}3\right)^3 =\frac4{243}$

dấu = xảy ra khi $x^2 =y^2 =4 -x^2 -y^2$

$\Leftrightarrow x =y =\frac{2\sqrt3}3$

$V_{max} =\frac{2\sqrt3}{27}$

Hình gửi kèm

•