Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(mn)=f(m)f(n)\,\forall m,n$

pth namcpnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 10-02-2018 - 09:16

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn:

$f(n)<f(n+1)\,\forall n$
$f(2)=2$
$f(mn)=f(m)f(n)\,\forall m,n$

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 12-02-2018 - 18:11

Giả sử hàm số $f$ thoả mãn đề bài.

Có: $f(1)<f(2)=2\rightarrow f(1)=1$
$2=f(2)<f(3)<f(4)=f(2)f(2)=4$
$\Rightarrow f(3)=3$
Giả sử $f(n)=n$ với mọi số tự nhiên $n\leq m$. Cần chứng minh $f(m+1)=m+1$
Nếu $m+1$ chẵn: $f(m+1)=f(\frac{m+1}{2})f(2)=\frac{m+1}{2}.2=m+1$
Nếu $m+1$ lẻ$\Rightarrow m+2$ chẵn, do đó $f(m+2)=f(\frac{m+2}{2})f(2)=\frac{m+2}{2}.2=m+2$
Lại có: $m=f(m)<f(m+1)<f(m+2)=m+2\Rightarrow f(m+1)=m+1$
Vậy $f(n)=n$ 

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh