Đến nội dung

Hình ảnh

$x^2+y^2+z^2+(x+y+z)^2\leq 4$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Korosensei

Korosensei

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

Câu 1: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+(x+y+z)^2\leq 4$

Chứng minh : $\frac{xy+1}{(x+y)^2}+\frac{yz+1}{(y+z)^2}+\frac{zx+1}{(z+x)^2}\geq 3$ .

Câu 2: Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh : $\frac{\left | b-c \right |}{a+b}+\frac{\left | c-a \right |}{b+c}+\frac{\left | a-b \right |}{c+a}< 2$ 



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

\[\frac{xy+1}{(x+y)^2}+\frac{yz+1}{(y+z)^2}+\frac{zx+1}{(z+x)^2}\geq 3\]

\[x^2+y^2+z^2+(x+y+z)^2\leq 4\]

\[\Leftrightarrow \sum x^{2}+ \sum xy\leq 2\]

\[\sum \frac{2xy+ 2}{\left ( x+ y \right )^{2}}\geq \sum \frac{2xy+ x^{2}+ y^{2}+ z^{2}+ xy+ yz+ zx}{\left ( x+ y \right )^{2}}= \sum \frac{\left ( x+ y \right )^{2}+ \left ( z+ x \right )\left ( z+ y \right )}{\left ( x+ y \right )^{2}}\geq 3+ \sum \frac{\left ( z+ x \right )\left ( z+ y \right )}{\left ( x+ y \right )^{2}}\geq 6\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 14-02-2018 - 13:25


#3
kekkei

kekkei

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 107 Bài viết

Câu 1: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+(x+y+z)^2\leq 4$

Chứng minh : $\frac{xy+1}{(x+y)^2}+\frac{yz+1}{(y+z)^2}+\frac{zx+1}{(z+x)^2}\geq 3$ .

Câu 2: Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh : $\frac{\left | b-c \right |}{a+b}+\frac{\left | c-a \right |}{b+c}+\frac{\left | a-b \right |}{c+a}< 2$ 

Câu 2: Gỉa sử $a\geqslant b\geqslant c$, điều phải chứng minh tương đương với:

$a^3<(b+c)^3+c(a^2-b^2)+a(b+2c)^2$ luôn đúng


éc éc 

 


#4
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 16-02-2018 - 04:12

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#5
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

Câu 1: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+(x+y+z)^2\leq 4$

Chứng minh : $\frac{xy+1}{(x+y)^2}+\frac{yz+1}{(y+z)^2}+\frac{zx+1}{(z+x)^2}\geq 3$ .

Câu 2: Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh : $\frac{\left | b-c \right |}{a+b}+\frac{\left | c-a \right |}{b+c}+\frac{\left | a-b \right |}{c+a}< 2$ 

Bài 2

Giả sử $a\geq b\geq c$

Suy ra $VT=\frac{b-c}{a+b}+\frac{a-c}{b+c}+\frac{a-b}{c+a}<\frac{b}{a+b+c}+\frac{2a-c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}=\frac{3a+b-c}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)+a-b-3c}{a+b+c}<2$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh