Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$p^{q-1}+q^{p-1}$

số chính phương số nguyên tố

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 595 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 12-02-2018 - 23:50

Tìm số nguyên tố p, q sao cho $p^{q-1}+q^{p-1}$ là một số chính phương 

~SIMON MARAIS MATHEMATICS COMPETITION 2017~ 


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 13-02-2018 - 09:07

Mình làm thế này không biết có đúng không:

+) Xét $\left\{\begin{matrix}p=2m+1 \\ q=2n+1 \end{matrix}\right. (m,n\epsilon N*)$

Đặt $p^{q-1}+q^{p-1}=a^{2}(a\epsilon N)$

$=>(2m+1)^{2n}+(2n+1)^{2m}=a^{2}(**)$

$=>(2m+1)^{2n}=\left [ a-(2n+1)^{m} \right ]\left [ a+(2n+1)^{m} \right ]$

Goi $d=(a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}) =>\left\{\begin{matrix}a-(2n+1)^{m}\vdots d \\ a+(2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right. =>\left\{\begin{matrix}2a\vdots d \\ a+(2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right.$

Do $(2m+1)^{2n}$ lẻ nen $a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}$ le.

=> $(2,d)=1=>a\vdots d=>(2n+1)^{m}\vdots d=>\left [ a-(2n+1)^{m} \right ]\left [ a+(2n+1)^{m} \right ]\vdots d^{2}=>(2m+1)^{2n}\vdots d^{2}=>(2m+1)^{n}\vdots d$

$=>\left\{\begin{matrix}(2m+1)^{n}\vdots d \\ (2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix}q^{m}\vdots d \\ p^{n}\vdots d \end{matrix}\right. =>d=1 (1)$

=> $a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}$ la SCP $(2)$

Do $2m+1$ la SNT nen $U((2m+1)^{2n})\epsilon \left. 1,2m+1,(2m+1)^{2},...(2m+1)^{2n} \right \}$

Kết hợp với (1) và (2) $=>\left\{\begin{matrix}a-(2n+1)^{m}=1(*) \\ a+(2n+1)^{m}=(2m+1)^{2n} \end{matrix}\right.$

$(*)=>a-q^{m}=1$

Tương tự $a-p^{n}=1=>q^{m}=p^{n}=>q^{2m}=p^{2n}$ thay vao (**)

$=>2q^{2m}$ la SCP (vo ly)

+) Xét chỉ tồn tại một số chẵn trong p,q. Không mất tính tổng quát giả sử $q=2$

=> $p+2^{p-1}=a^{2}=>p+2^{2m}=a^{2}=>p=(a-2^{m})(a+2^{m})=>\left\{\begin{matrix}a-2^{m}=1 \\ a+2^{m}=p \end{matrix}\right. =>2.2^{m}+1=p=>2.2^{m}+1=2m+1(=p)=> m=2^{m}$ (cái này vô nghiệm VT<VP)

CM: +) Với $m=1$ $=>1<2$ (t/m)

+) Giả sử mệnh đề đúng với $m=k\epsilon N^{*}$ $=>k< 2^{k}$

 

+) Xét $p=q=2$ (t/m)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 14-02-2018 - 08:32

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#3 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 10-03-2018 - 12:30

Mình làm thế này không biết có đúng không:
+) Xét $\left\{\begin{matrix}p=2m+1 \\ q=2n+1 \end{matrix}\right. (m,n\epsilon N*)$
Đặt $p^{q-1}+q^{p-1}=a^{2}(a\epsilon N)$
$=>(2m+1)^{2n}+(2n+1)^{2m}=a^{2}(**)$
$=>(2m+1)^{2n}=\left [ a-(2n+1)^{m} \right ]\left [ a+(2n+1)^{m} \right ]$
Goi $d=(a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}) =>\left\{\begin{matrix}a-(2n+1)^{m}\vdots d \\ a+(2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right. =>\left\{\begin{matrix}2a\vdots d \\ a+(2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right.$
Do $(2m+1)^{2n}$ lẻ nen $a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}$ le.
=> $(2,d)=1=>a\vdots d=>(2n+1)^{m}\vdots d=>\left [ a-(2n+1)^{m} \right ]\left [ a+(2n+1)^{m} \right ]\vdots d^{2}=>(2m+1)^{2n}\vdots d^{2}=>(2m+1)^{n}\vdots d$
$=>\left\{\begin{matrix}(2m+1)^{n}\vdots d \\ (2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix}q^{m}\vdots d \\ p^{n}\vdots d \end{matrix}\right. =>d=1 (1)$
=> $a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}$ la SCP $(2)$
Do $2m+1$ la SNT nen $U((2m+1)^{2n})\epsilon \left. 1,2m+1,(2m+1)^{2},...(2m+1)^{2n} \right \}$
Kết hợp với (1) và (2) $=>\left\{\begin{matrix}a-(2n+1)^{m}=1(*) \\ a+(2n+1)^{m}=(2m+1)^{2n} \end{matrix}\right.$
$(*)=>a-q^{m}=1$
Tương tự $a-p^{n}=1=>q^{m}=p^{n}=>q^{2m}=p^{2n}$ thay vao (**)
$=>2q^{2m}$ la SCP (vo ly)
+) Xét chỉ tồn tại một số chẵn trong p,q. Không mất tính tổng quát giả sử $q=2$
=> $p+2^{p-1}=a^{2}=>p+2^{2m}=a^{2}=>p=(a-2^{m})(a+2^{m})=>\left\{\begin{matrix}a-2^{m}=1 \\ a+2^{m}=p \end{matrix}\right. =>2.2^{m}+1=p=>2.2^{m}+1=2m+1(=p)=> m=2^{m}$ (cái này vô nghiệm VT<VP)
CM: +) Với $m=1$ $=>1<2$ (t/m)
+) Giả sử mệnh đề đúng với $m=k\epsilon N^{*}$ $=>k< 2^{k}$

+) Xét $p=q=2$ (t/m)


Mình nghĩ Cái chỗ trường hợp 1 không cần phức tạp thế
$(2m+1)^{2n}+ (2n+1)^{2m} $ chia 4 dư 2 thì không thể là số chính phương thì sẽ suy ra không thể là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 10-03-2018 - 12:33






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh