Chủ đề này có 1 trả lời

[lelehieu2002]

Giải hệ phương trình sau:

$\large \left\{\begin{matrix} 2x^{3}-4x+1=9\sqrt{y-1} & \\ 2y^{3}-4y+1=9\sqrt{x-1} & \end{matrix}\right.$

[TrucCumgarDaklak]

ĐK: $x, y\geq 1$

Dễ dàng chứng minh được $f(t)=2t^{3}-4t+1$ và $f(t)=\sqrt{t-1}$ đồng biến trên $[1;+\infty )$ 

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\Leftrightarrow 2x^{3}-4x+1\geq 2y^{3}-4y+1\Leftrightarrow 9\sqrt{y-1}\geq 9\sqrt{x-1}\Leftrightarrow y\geq x$$\Rightarrow x=y$

Thay $y=x$ ta có:

$2x^{3}-4x+1-9\sqrt{x-1}=0$

$\Leftrightarrow \left ( 2x^{3}-4x-8 \right )-9\left ( \sqrt{x-1}-1 \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )\left ( 2x^{2}+4x+4-\frac{9}{\sqrt{x-1}+1} \right )=0$

$\Rightarrow x=2$ ( Phương trình còn lại vô nghiệm vì $x^{2}+4x+4-\frac{9}{\sqrt{x-1}+1}\geq 10-9=1>0$)

Vậy $x=y=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrucCumgarDaklak: 13-02-2018 - 10:03