Chủ đề này có 1 trả lời

[12301230]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I bán kính R có G là trọng tâm. Gọi H,E,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của G trên BC,CA,AB.$S_{ABC}=S$ , d=IG. Tính $S_{HEK}$ theo S,R,d

[Iceghost]

Đổi tên $I$ thành $O$ cho dễ gọi

Ta có $$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG} \implies 3R^2 + 2R^2(\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C) = 9d^2$$

Do $\cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A$ nên $$3R^2 + 2R^2[3 - 2 (\sin^2A + \sin^2B + \sin^2C)] = 9d^2 \implies \sin^2A + \sin^2B + \sin^2C = \dfrac{8R^2-9d^2}{4R^2}$$

Ngoài ra $$GH \cdot a = GE \cdot b = GK \cdot c = \dfrac23 S \implies S_{GEK} = \dfrac12 \cdot GE \cdot GK \cdot \sin EGK = \dfrac29 \dfrac{S^2}{bc} \cdot \sin A = \dfrac19 S \sin^2 A$$

Tương tự rồi suy ra $$S_{HEK} = S_{GEK} + S_{GKH} + S_{GHE} = \dfrac19 S(\sin^2A + \sin^2B + \sin^2C) = \dfrac{(8R^2-9d^2)S}{36R^2}$$