Chủ đề này có 3 trả lời

[hienhienhien]

cho tu giác ABCD nội tiếp (O) , AC cắt CD tại I, AD cắt BC tại E đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và OCD cắt nhau tại điểm thứ 2 là M. . cmr I, E, M thẳng hàng

[Uchiha sisui]

Lời giải

 

Gọi $Y$ là giao điểm của $AB$ và $CD$.  Do $YA.YB=YC.YD$ nên $Y$ thuộc trục đẳng phương của $(OAB)$ và $(OCD)$ hay $Y, O, M$  thẳng hàng.

 

Theo định lý Brocard ta có $O$ là trực tâm của tam giác $IEY$ hay $I$ là trực tâm của tam giác $OEY$. 

 

Gọi $M'$ là giao điểm của $EI$ và $OY$, $Z$ là giao điểm của $OI$ và $YE$, theo kết quả quen thuộc thì $Z$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $YEABCD$ suy ra $YA.YB=YZ.YE=YO.YM'$ suy ra tứ giác $OM'AB$ nội tiếp hay $M'$ trùng $M$.

 

Vậy $E,I,M$ thẳng hàng  

Hình gửi kèm

• 

[hienhienhien]

Lời giải

 

Gọi $Y$ là giao điểm của $AB$ và $CD$.  Do $YA.YB=YC.YD$ nên $Y$ thuộc trục đẳng phương của $(OAB)$ và $(OCD)$ hay $Y, O, M$  thẳng hàng.

 

Theo định lý Brocard ta có $O$ là trực tâm của tam giác $IEY$ hay $I$ là trực tâm của tam giác $OEY$. 

 

Gọi $M'$ là giao điểm của $EI$ và $OY$, $Z$ là giao điểm của $OI$ và $YE$, theo kết quả quen thuộc thì $Z$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $YEABCD$ suy ra $YA.YB=YZ.YE=YO.YM'$ suy ra tứ giác $OM'AB$ nội tiếp hay $M'$ trùng $M$.

 

Vậy $E,I,M$ thẳng hàng  

mình chưa học về miquel có thể giải thích rõ hơn hoặc cách khác được k

[Uchiha sisui]

mình chưa học về miquel có thể giải thích rõ hơn hoặc cách khác được k

Chưa học thì sớm muộn gì cũng phải học !