Chủ đề này có 2 trả lời

[Khoa Linh]

Cho a, b, c>0; a+b+c=3. Chứng minh rằng 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$

 

[HelpMeImDying]

bđt cần c/m$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}+2\sum ab\geq (a+b+c)^{2}=9$

Áp dụng AM-GM ta có:$\sum \frac{1}{a^{2}}+2\sum ab\geq \sum \frac{1}{ab}+2\sum ab\geq 3\sqrt[3]{(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})(ab+bc+ca)^{2}}= 3\sqrt[3]{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)^{2}}{abc}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3(a+b+c)^{2}abc}{abc}}= 3\sqrt[3]{3.3^{2}}=9$

[KietLW9]

Cho a, b, c>0; a+b+c=3. Chứng minh rằng 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$

Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$

Ta cần chứng minh: $\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2=9$

Lại có: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{abc}$

$\Rightarrow \frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{abc}+6\sqrt{abc}=\frac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\geq 9$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1