Chủ đề này có 1 trả lời

[ThuThao36]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{y+3x}})=2\\ x^{2}+2y+9=4\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3y} \end{matrix}\right.$

[nmtuan2001]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{y+3x}})=2\\ x^{2}+2y+9=4\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3y} \end{matrix}\right.$

Ta sẽ chứng minh với $x,y>0$ (đkxđ)

$$\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{3x+y}} \leq \frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$

Ta có $\sqrt{\frac{x}{x+3y}}=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x+y}{x+3y}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{x}{x+y}+\frac{x+y}{x+3y} \right)$

$\sqrt{\frac{y}{x+3y}}=\sqrt{\frac{1}{2}.\frac{2y}{x+3y}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}+\frac{2y}{x+3y} \right)$

Cộng theo vế 2 BĐT trên ta được $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+3y}} \leq \frac{1}{2}(\frac{x}{x+y}+\frac{3}{2})$.

 

Ta có BĐT tương tự với $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{3x+y}}$ và từ BĐT này ta có đpcm.

 

Dấu $=$ xảy ra nên $x=y$.

Thay vào PT(2): $x^2+2x+9=4\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3x}$

$$x^2+2x-3=4(\sqrt{x+3}-2)+(\sqrt{19-3x}-4)$$

$$(x-1)(x+3)=\frac{4(x-1)}{\sqrt{x+3}+2}+\frac{3(1-x)}{\sqrt{19-3x}+4}$$

$$(x-1)\left( x+3-\frac{4}{\sqrt{x+3}+2}+\frac{3}{\sqrt{19-3x}+4} \right)=0$$

Dễ thấy $\frac{4}{\sqrt{x+3}+2}<2$ nên biểu thức trong ngoặc $>0$.

Do đó $x=y=1$ là nghiệm duy nhất của hệ.