Chủ đề này có 1 trả lời

[ThuThao36]

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{2}}+\frac{54}{6+xy+yz+zx}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuThao36: 16-02-2018 - 21:10

[nmtuan2001]

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{2}}+\frac{54}{6+xy+yz+zx}$

Vì $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ nên từ đk suy ra $x^2+y^2+z^2 \geq 3$ và $xy+yz+zx \leq 3$.

Áp dụng C-S: $\sum \frac{x^3}{y^2}=\sum \frac{x^4}{xy^2} \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{xy^2+yz^2+zx^2}$.

Mà $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-3(xy^2+yz^2+zx^2)=y(x-y)^2+z(y-z)^2+x(z-x)^2$ nên $xy^2+yz^2+zx^2 \leq \frac{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)}{3}$

Suy ra $\sum \frac{x^3}{y^2} \geq \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{x+y+z} \geq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} \geq 3$.

Ta có $\frac{54}{6+xy+yz+zx} \geq \frac{54}{6+3}=6$.

Vậy min $P=9$ khi và chỉ khi $x=y=z=1$.