Chủ đề này có 9 trả lời

[anhthu0811]

1,Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1.Tìm GTNN của:

$P=\frac{a^{2}}{1-a}+\frac{b^{2}}{1-b}+\frac{c^{2}}{1-c}$

2,Cho a,b,c dương thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$.CMR:

$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ca}+\frac{c^{2}}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$

3,Cho a,b,c dương. Tìm GTNN của

$P=\frac{a(1+b^{2})}{bc}+\frac{b(1+c^{2})}{ca}+\frac{c(1+a^{2})}{ab}$

[Tea Coffee]

1)$a+b+c=1=>P=\frac{a^{2}}{1-a}+\frac{b^{2}}{1-b}+\frac{c^{2}}{1-c}=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}$

3)$P=\frac{a}{bc}+\frac{ab^{2}}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{bc^{2}}{ca}+\frac{c}{ab}+\frac{ca^{2}}{ab}=\frac{a}{bc}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{c}{ab}+\frac{ac}{b}+\frac{b}{ac}\geq 6<=>a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 18-02-2018 - 22:59

[anhthu0811]

1)$a+b+c=1=>P=\frac{a^{2}}{1-a}+\frac{b^{2}}{1-b}+\frac{c^{2}}{1-c}=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}$

3)$P=\frac{a}{bc}+\frac{ab^{2}}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{bc^{2}}{ca}+\frac{c}{ab}+\frac{ca^{2}}{ab}=\frac{a}{bc}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{c}{ab}+\frac{ac}{b}+\frac{b}{ac}\geq 6<=>

Mình không hiểu tại sao:

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}$

[Leuleudoraemon]

Mình không hiểu tại sao:

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}$

là BĐT cộng mẫu số ... CM bằng Bunhiakovski

[anhthu0811]

Giải bài 2 đi.

[HelpMeImDying]

2)Từ gt suy ra $ab+bc+ca= abc$

Ta có: VT=$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ca}+\frac{c^{2}}{c+ab}= \frac{a^{2}}{a+abc-ab-ac}+\frac{b^{2}}{b+abc-bc-ba}+\frac{c^{2}}{c+abc-cb-ca}= \frac{a}{(b-1)(c-1)}+\frac{b}{(c-1)(a-1)}+\frac{c}{(a-1)(b-1)}= \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-a-b-c}{(a-1)(b-1)(c-1)}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-a-b-c}{abc-ab-bc-ca+a+b+c-1}= \frac{(a+b+c)^{2}-3(a+b+c)}{3(a+b+c-1)}$

Ta cần c/m:$\frac{(a+b+c)^{2}-3(a+b+c)}{3(a+b+c-1)}\geq \frac{a+b+c}{4}\Leftrightarrow 4(a+b+c)^{2}-12(a+b+c)\geq 3(a+b+c)^{2}-3(a+b+c)\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 9(a+b+c)$

Mặt khác từ gt dễ c/m được $a+b+c\geq 9$. Suy ra dpcm

[anhthu0811]

2)Từ gt suy ra $ab+bc+ca= abc$

Ta có: VT=$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ca}+\frac{c^{2}}{c+ab}= \frac{a^{2}}{a+abc-ab-ac}+\frac{b^{2}}{b+abc-bc-ba}+\frac{c^{2}}{c+abc-cb-ca}= \frac{a}{(b-1)(c-1)}+\frac{b}{(c-1)(a-1)}+\frac{c}{(a-1)(b-1)}= \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-a-b-c}{(a-1)(b-1)(c-1)}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-a-b-c}{abc-ab-bc-ca+a+b+c-1}= \frac{(a+b+c)^{2}-3(a+b+c)}{3(a+b+c-1)}$

Ta cần c/m:$\frac{(a+b+c)^{2}-3(a+b+c)}{3(a+b+c-1)}\geq \frac{a+b+c}{4}\Leftrightarrow 4(a+b+c)^{2}-12(a+b+c)\geq 3(a+b+c)^{2}-3(a+b+c)\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 9(a+b+c)$

Mặt khác từ gt dễ c/m được $a+b+c\geq 9$. Suy ra dpcm

Cho mình hỏi nhé: Y tưởng chứng minh bài này là gì vậy?

[Unrruly Kid]

1 ý tưởng dễ hiểu

$\sum \frac{a^{2}}{a+bc}=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+abc}=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+bc+ca}=\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c )}$

Sử dụng BĐT AM-GM, ta có:

$\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geqslant \frac{3a}{4}$

Tương tự rồi cộng lại ta được

 $VT\geqslant \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{4(a+b+c)}{8}=\frac{a+b+c}{4}$

Vậy ta có đpcm

[kiencoam]

Cho mình hỏi nhé: Y tưởng chứng minh bài này là gì vậy?

[anhthu0811]

 

Cho mình hỏi nhé: Y tưởng chứng minh bài này là gì vậy?

 

Tra loi kieu gi vay