Chủ đề này có 1 trả lời

[Korosensei]

Tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp tâm O, bán kính R. Kí hiệu da;db;dc là khoảng cách từ O tới các cạnh BC;CA;AB. Chứng minh rằng nếu  d_{a}^{2}+d_{b}^{2}+d_{c}^{2}=\frac{3}{4}.R^{2}. thì ABC là tam giác đều

[Khoa Linh]

Tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp tâm O, bán kính R. Kí hiệu da;db;dc là khoảng cách từ O tới các cạnh BC;CA;AB. Chứng minh rằng nếu  $d_{a}^{2}+d_{b}^{2}+d_{c}^{2}=\frac{3}{4}.R^{2}$. thì ABC là tam giác đều

Ta gọi 3 cạnh tam giác ABC là a=BC; AC=b; AB=c.

Áp dụng Pytago ta có:

$d_{a}^2=R^2-\frac{a^2}{4}$

$d_{b}^2=R^2-\frac{b^2}{4}$

$d_{c}^2=R^2-\frac{c^2}{4}$

Suy ra $\frac{3}{4}R^2=3R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{4}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=9R^2 \Leftrightarrow sin^2A+sin^2B+sin^2C = \frac{9}{4}$

Mặt khác $sin^2A+sin^2B+sin^2C\leq \frac{9}{4}$
suy ra tam giác đều