Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho $\left\{\begin{matrix} U_{1}=2018 & \\ 2018U_{n+1}=U_{n}^{2}+2017U_{n} & \end{matrix}\right.$
Tính $lim\sum_{k=1}^{n}=\frac{U_{k}}{U_{k+1}-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 19-02-2018 - 10:52

[TrucCumgarDaklak]

$2018u_{n+1}=u_{n}^{2}+1017u_{n}\Leftrightarrow2018u_{n+1}-2018=u_{n}^{2}+2017u_{n}-2018\Leftrightarrow 2018\left ( u_{n+1}-1 \right )=\left ( u_{n}-1 \right )\left ( u_{n}+2018 \right )\Leftrightarrow \frac{u_{n}+2018}{u_{n+1}-1}=\frac{2018}{u_{n}-1}\Leftrightarrow \frac{u_{n}}{u_{n}+1}=2018\left ( \frac{1}{u_{n}-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1} \right )$

Dễ dàng chứng minh $limu_{n}=+\infty \Rightarrow lim\frac{1}{u_{n+1}-1}=0$

$lim\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{u_{k+1}-1}=lim\left [2018\left ( \frac{1}{u_{1}-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1} \right ) \right ]=\frac{2018}{u_{1}-1}=\frac{2018}{2017}$

[DinhXuanHung CQB]

Ta có $U_n+1-U_n=\displaystyle \frac{{{U}_{n}}^{2}+2017{{U}_{n}}}{2018}-{{U}_{n}}=\frac{{{U}_{n}}^{2}-{{U}_{n}}}{2018}=\frac{{{U}_{n}}({{U}_{n}}-1)}{2018}>0$

Vậy $U_n$ tăng

Giả sử $U_n$ bị chặn trên. Khi đó tồn tại L sao cho $lim$ $U_n+1$=$lim$ $U_n$=L

Cho $\displaystyle n\to \infty $ ta có $L=\displaystyle \frac{{{L}^{2}}+2017L}{2018}$ => $L=0$ và $L=1$

Ta có $U_n$ tăng mà $U_1=2018$ nên $U_n>2018$ vậy loại hai khả năng trên

Vậy $U_n$ không bị chặn trên

Do đó $\displaystyle {{\operatorname{limU}}_{n}}=+\infty $ => $\displaystyle \lim \frac{1}{{{U}_{n}}}=0$

$U_n+1-U_n=\displaystyle \frac{{{U}_{n}}({{U}_{n}}-1)}{2014}$

<=> $\displaystyle {{U}_{n}}=\frac{2014({{U}_{n+1}}-{{U}_{n}})}{({{U}_{n}}-1)}$

<=> $\displaystyle \frac{{{U}_{n}}}{{{U}_{n+1}}-1}=\frac{2014({{U}_{n+1}}-{{U}_{n}})}{({{U}_{n+1}}-1)({{U}_{n}}-1)}$

Đến đây làm như anh Phúc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 20-03-2018 - 10:26