Chủ đề này có 5 trả lời

[DinhXuanHung CQB]

Cho dãy số xác định bởi

   ${{U}_{1}}=2014  \\$ và

   ${{U}_{n+1}}=\frac{3n+2}{4n+2}({{U}_{n}}+1)\,,\forall n\in {{N}^{*}}  \\$

Tính $ \displaystyle \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{U}_{1}}+{{U}_{2}}+...+{{U}_{n}}}{n} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 19-02-2018 - 14:34

[An Infinitesimal]

 

Cho dãy số xác định bởi

   $u_{1}=2014$ và

   $u_{n+1}=\frac{3n+2}{4n+2}(u_{n}+1)\,,\forall n\ge 1.$

 

Tính $ \displaystyle \lim \frac{\sum_{k=1}^n u_k}{n}.$

 

Ngoài việc dùng các định lý Weirstrass kết hợp bổ đề Cesaro, ta có thể tiếp cận theo hướng bổ đề giới hạn cùng bổ đề Cesaro.

 

Ta có $$u_{n+1}-3=  \frac{3n+2}{4n+2}\left( u_n-3\right)+\frac{1}{2n+1}, n\in \mathbb{N}.$$

Do đó, $$\left| u_{n+1}-3\right|\le \frac{3n+2}{4n+2}\left| u_{n}-3\right|+\frac{1}{2n+1} \le \frac{5}{6}\left| u_{n}-3\right|+\frac{1}{2n+1}, n\in \mathbb{N}.$$

Áp dụng bổ đề giới hạn, ta có $\lim \left| u_{n}-3\right|=0.$ Do đó, $\lim u_n=3$.

Vì thế theo bổ đề Cesaro, $\displaystyle\lim \frac{\sum_{k=1}^n u_k}{n}=3.$

 

 

 

https://diendantoanh...ãy-số-giới-hạn/

 

 

 

Cho số thực $q\in (0, 1).$ Xét hai dãy không âm $(a_{n}), (b_{n})$ thỏa mãn $a_{n+1}\leq qa_{n}+b_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$ và $\lim_{n\rightarrow +\infty }b_{n}=0.$ Chứng minh rằng $\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0.$

 

 

Xin lỗi "Newton" vì gọi em vào !  Bài toán nằm trong chiến dịch quảng bá "bổ đề giới hạn".

 

 

....

 

 

 

@Duy Thái: Em trình bày lời giải theo hướng tiếp cận thứ nhất xem có vấn đề gì phát sinh không? Cảm ơn em!

[DinhXuanHung CQB]

Do đó, $$\left| u_{n+1}-3\right|\le \frac{3n+2}{4n+2}\left| u_{n}-3\right|+\frac{1}{2n+1} \le \frac{5}{6}\left| u_{n}-3\right|+\frac{1}{2n+1}, n\in \mathbb{N}.$$

 

P/s: Em hơi không hiểu chỗ $5/6$ ạ mong anh chỉ giải giúp em

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 19-02-2018 - 19:54

[Duy Thai2002]

P/s: Em hơi không hiểu chỗ $5/6$ ạ mong anh chỉ giải giúp em

Thực chất anh An infinitesimal thấy rằng $\frac{3n+2}{4n+2}\leq \frac{5}{6}$ với $n\geq 1$ nên có bđt sau. Với lại số $\frac{5}{6}$$\in (0;1)$ nên nó thỏa điều kiện bổ đề.

[Duy Thai2002]

 

Cho dãy số xác định bởi

   ${{U}_{1}}=2014  \\$ và

   ${{U}_{n+1}}=\frac{3n+2}{4n+2}({{U}_{n}}+1)\,,\forall n\in {{N}^{*}}  \\$

Tính $ \displaystyle \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{U}_{1}}+{{U}_{2}}+...+{{U}_{n}}}{n} \right)$

 

Đúng như anh An infinitesimal em giải bài này theo định lý weirstrass cùng với bổ đề Cesaro nhưng mà để ý một chút ta có thể giải bài trên theo nguyên lí ánh xạ co kết hợp với bổ đề Cesaro .

Ta xét hàm: $f(x)=\frac{3n+2}{4n+2}x+\frac{3n+2}{4n+2}$

$\Rightarrow f'(x)=\frac{3n+2}{4n+2}=q<1,  \forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Áp dụng định lý Lagrange cho $x,y \in \mathbb{R}, x>y$, $f(x)$ liên tục nên tồn tại $z\in \mathbb{R}$ sao cho:

$f(x)-f(y)=f'(z)(x-y)$

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq q\left | x-y \right |$ nên hàm số $f(x)=\frac{3n+2}{4n+2}$ là hàm số co do đó dãy số $(u_{n})$ hội tụ.

Ta đi chứng minh $lim\frac{3n+2}{4n+2}=\frac{3}{4}$ bằng cách sử dụng định nghĩa giới hạn . Ta có: 

$\forall \epsilon >0$ xét bất phương trình $\left | \frac{3n+2}{4n+2}-\frac{3}{4} \right |< \epsilon$(*)

$<=> n>\frac{3}{8\epsilon }-\frac{1}{2}$

Vậy nếu chọn $n_{0}=\left \lfloor \frac{3}{8\epsilon } -\frac{1}{2}\right \rfloor+1$ thì với mọi $n>n_{0}$ thì (*) luôn đúng, theo định nghĩa giới hạn ta được:  $lim\frac{3n+2}{4n+2}=\frac{3}{4}$ 

Gọi $limu_{n}=a$

Chuyển qua giới hạn, ta được:

$a=\frac{3}{4}(a+1)$ $=> a=3$ $=> limu_{n}=3$. Kết hợp với định lý Cesaro suy ra được:

$lim(\frac{u_{1}+u_{2}+...+u_{n}}{n})=3$

P/s;  Do em mới nghiên cứu về hàm số co nên không biết cách làm có sai gì không? Mong anh chỉ giáo.

 

 

 

[An Infinitesimal]

Đúng như anh An infinitesimal em giải bài này theo định lý weirstrass cùng với bổ đề Cesaro nhưng mà để ý một chút ta có thể giải bài trên theo nguyên lí ánh xạ co kết hợp với bổ đề Cesaro .

Ta xét hàm: $f(x)=\frac{3n+2}{4n+2}x+\frac{3n+2}{4n+2}$

$\Rightarrow f'(x)=\frac{3n+2}{4n+2}=q<1,  \forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Áp dụng định lý Lagrange cho $x,y \in \mathbb{R}, x>y$, $f(x)$ liên tục nên tồn tại $z\in \mathbb{R}$ sao cho:

$f(x)-f(y)=f'(z)(x-y)$

$\left | f(x)-f(y) \right |\leq q\left | x-y \right |$ nên hàm số $f(x)=\frac{3n+2}{4n+2}$ là hàm số co do đó dãy số $(u_{n})$ hội tụ.

 

Đoạn này rối beng nè! Anh sẽ xem xét kỹ hơn sau!

(Dường như em quên đi sự thay đổi của n?)