Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & & \\ x^{2}=1+xy^{3}& & \end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
tiendungthachthat

tiendungthachthat

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 44 Bài viết

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & & \\ x^{2}=1+xy^{3}& & \end{matrix}\right.$



#2
didifulls

didifulls

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 221 Bài viết

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & & \\ x^{2}=1+xy^{3}& & \end{matrix}\right.$

xet pt $(2) \iff 2x^2=2+2xy^3 \iff x^2-y^2=2xy^3 (3)$
Nhận vế của pt$(1)$ voi $(3)\iff (x^2-y^2)(x^2+y^2)=4xy^3$
................................................................................................

''.''


#3
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

 

xet pt $(2) \iff 2x^2=2+2xy^3 \iff x^2-y^2=2xy^3 (3)$
Nhận vế của pt$(1)$ voi $(3)\iff (x^2-y^2)(x^2+y^2)=4xy^3$
................................................................................................

 

Tiếp cận này cho cần giải PT bậc 4 theo $t=\frac{x}{y}$ "đẹp".

Ngược lại, hướng tiếp cận bên dưới  dẫn đến giải PT bậc 4 khó hơn!

 

 

Đặt $a=x^2, b=y^2$, Hệ không hoàn toàn theo $a, b:$

\begin{cases} \begin{matrix} a+b=2,\\ a-xy b=1. \end{matrix}\end{cases}

Khi đó, $a=\frac{2 xy + 1}{xy + 1}, b=\frac{1}{xy+1}.$

Từ đó, ta dẫn về phương trình theo $xy$:

$(xy)^2=ab= \frac{2 xy + 1}{xy + 1}.\frac{1}{xy+1}.$

Đặt $t=xy,$ ta có

$$ t^4 + 2t^3 + t^2 - 2t - 1=0.$$


Đời người là một hành trình...


#4
didifulls

didifulls

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 221 Bài viết

Tiếp cận này cho cần giải PT bậc 4 theo $t=\frac{x}{y}$ "đẹp".

Ngược lại, hướng tiếp cận bên dưới  dẫn đến giải PT bậc 4 khó hơn!

 

 

Đặt $a=x^2, b=y^2$, Hệ không hoàn toàn theo $a, b:$

\begin{cases} \begin{matrix} a+b=2,\\ a-xy b=1. \end{matrix}\end{cases}

Khi đó, $a=\frac{2 xy + 1}{xy + 1}, b=\frac{1}{xy+1}.$

Từ đó, ta dẫn về phương trình theo $xy$:

$(xy)^2=ab= \frac{2 xy + 1}{xy + 1}.\frac{1}{xy+1}.$

Đặt $t=xy,$ ta có

$$ t^4 + 2t^3 + t^2 - 2t - 1=0.$$

Cảm ơn huynh đài ^^!
Huynh có thể chỉ cho đệ rằng nếu gặp một số hệ khác đưa về pt t=x/y xấu thì có kinh nghiệm gì & phương pháp gì  để giải không ạ ^^
Ví Dụ đệ gặp bài hệ này  $\left\{\begin{matrix}
4x^2+y^2=5 &  & \\
 15y^4+y^4+12x^2y^2-40xy=0&  &
\end{matrix}\right.$  đệ cũng đưa về đ.c đồng bậc 4 nhưng  k bt làm thế nào nữa @_@
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi didifulls: 21-02-2018 - 08:33

''.''


#5
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Cảm ơn huynh đài ^^!
Huynh có thể chỉ cho đệ rằng nếu gặp một số hệ khác đưa về pt t=x/y xấu thì có kinh nghiệm gì & phương pháp gì  để giải không ạ ^^
Ví Dụ đệ gặp bài hệ này  $\left\{\begin{matrix}
4x^2+y^2=5 &  & \\
 15y^4+y^4+12x^2y^2-40xy=0&  &
\end{matrix}\right.$  đệ cũng đưa về đ.c đồng bậc 4 nhưng  k bt làm thế nào nữa @[email protected]
 

 

Có phải em gõ nhầm ở PT thứ 2 không?


Đời người là một hành trình...


#6
didifulls

didifulls

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 221 Bài viết

Có phải em gõ nhầm ở PT thứ 2 không?

Đề đúng ạ ^^


''.''


#7
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Đề đúng ạ ^^

 

$15y^4+y^4$???


Đời người là một hành trình...


#8
didifulls

didifulls

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 221 Bài viết

$15y^4+y^4$???

Dạ đúng là như vậy huynh ạ ^^


''.''


#9
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Dạ đúng là như vậy huynh ạ ^^

Hình như người ra đề không biết "cộng". Không biết $15+1=?$.

 

 

Từ phương trình thứ 2, ta thu được $y=0 \vee 4y^3+3xy^2-10x=0.$

TH1: $y=0$. Khi đó,  $x=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.

 

TH2: $4y^3+3xy^2-10x=0$. Kết hợp PT thứ nhất, ta được phương trình đẳng cấp

$4y^3+3xy^2-2x(4x^2+y^2)=0$.

 

Dễ thấy $x\neq 0$. Đặt $t=\frac{y}{x},$ ta thu được phương trình 

$4t^3-2t^2+3t-8=0.$

 

Giải phương trình bậc ba theo cách giải tổng quát, ta thu được

\[t=\frac{\sqrt[3]{12 \sqrt{18633} + 1628}}{12} - \frac{\sqrt[3]{12 \sqrt{18633} - 1628}}{12} + \frac{1}{6}.\]

(Xấu thì làm theo "cách xấu" thôi!)


Đời người là một hành trình...





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh