Chủ đề này có 1 trả lời

[DOTOANNANG]

\[ab+ bc+ ca= 1\]

CM: \[\left ( a^{2}+ b^{2} \right )\left ( b^{2}+ c^{2} \right )\left ( c^{2}+ a^{2} \right )\leq \frac{8}{27}\]

[nmtuan2001]

\[ab+ bc+ ca= 1\]

CM: \[\left ( a^{2}+ b^{2} \right )\left ( b^{2}+ c^{2} \right )\left ( c^{2}+ a^{2} \right )\leq \frac{8}{27}\]

Hình như BĐT ngược dấu.

BĐT tương đương với $27(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) \geq 8(ab+bc+ca)^3$, hay

$$27\sum a^2b^2(a^2+b^2)+6a^2b^2c^2 \geq 8\sum a^3b^3+24abc \sum ab(a+b)$$

$$27\sum a^2b^2(a^2+b^2-2ab)+46(\sum a^3b^3-3a^2b^2c^2) \geq 24abc(\sum ab(a+b)-6abc)$$

$$27\sum a^2b^2(a-b)^2+23(ab+bc+ca)[\sum (ab-bc)^2] \geq 24abc[\sum c(a-b)^2]$$

$$\sum (a-b)^2(27a^2b^2+23c^2(ab+bc+ca)-24abc^2) \geq 0$$

$$\sum (a-b)^2(27a^2b^2+23c^3(a+b)-abc^2) \geq 0$$

Đặt $S_a=27b^2c^2+23a^3(b+c)-a^2bc, \ S_b=27c^2a^2+23b^3(a+c)-ab^2c, \ S_c=27a^2b^2+23c^3(a+b)-abc^2$.

Giả sử $a=max(a,b,c)$. Dễ chứng minh $S_a, S_b, S_c>0$.

Do đó ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 26-02-2018 - 19:15