Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{27}{70}\leq \sum \frac{1}{a^{2}-4a+9}\leq \frac{7}{18}$
chứng minh rằng $\frac{27}{70}\leq \sum \frac{1}{a^{2}-4a+9}\leq \frac{7}{18}$
Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 21-02-2018 - 20:42
bất đẳng thức
#2
Đã gửi 21-02-2018 - 21:12
nmtuan2001
-
- Thành viên
-
- 357 Bài viết
Sĩ quan
Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{27}{70}\leq \sum \frac{1}{a^{2}-4a+9}\leq \frac{7}{18}$
Chứng minh $\sum \frac{1}{a^2-4a+9} \geq \frac{27}{70}$.
$f'(a)=(-1)(2a-4)(a^2-4a+9)^{-2}$. Khi $a=\frac{1}{3}, f'(a)=\frac{10}{3}.(\frac{9}{70})^2=\frac{27}{490}$.
Đường tiếp tuyến của $f(a)$ là $y=\frac{27a+54}{490}$.
Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{a^2-4a+9} \geq \frac{27a+54}{490}$, hay
$$(a^2-4a+9)(27a+54) \leq 490$$
$$27a^3-54a^2+27a-4 \leq 0$$
$$(3a-4)(3a-1)^2 \leq 0$$
Vì $a \leq 1$ nên $3a-4<0$. Do đó BĐT trên hiển nhiên đúng.
Vậy $\sum \frac{1}{a^2-4a+9} \geq \frac{27(a+b+c)+162}{490}=\frac{27}{70}$.
- DOTOANNANG và PhanThai0301 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024  bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
