Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c+abc=4$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c)$
$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c)$
Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 22-02-2018 - 18:17
bất đẳng thức
#2
Đã gửi 22-02-2018 - 19:13
DinhXuanHung CQB
-
- Thành viên
-
- 118 Bài viết
Trung sĩ
Áp dụng bất đẳng thức Holder $VT^{2}(\sum a(b+c))\geq (a+b+c)^3$
<=> $VT^{2}\geq \frac{(a+b+c)^3}{2(ab+bc+ca)}$
Vậy thì cần cm $a+b+c\geq ab+bc+ca$
$ab+bc+ca+abc\leq 4$ <=> $\sum \frac{1}{a+2}\geq 1$
Theo dirichlet $(a-1)(b-1)\geq 0$ <=> $a+b\leq ab+1$
=> $4=a+b+c(ab+1)\geq (a+b)(c+1)$
Theo bđt Schwars thì $\sum \frac{1}{a+2}\geq \frac{4}{a+b+4}+\frac{1}{c+2}$
Đặt $a+b=x$ $c+1=y$ => $xy\leq 4$
Cần cm $\frac{4}{x+4}+\frac{1}{y+1}\geq 1$ <=> $4y+8+x\geq (x+4)(y+1)$
Hoặc $xy\leq 4$ Đúng
Vậy bđt xảy ra hoán vị của $a=0$ $b=c=2$ và $a=b=c=1$
- hung2k2destroyer, hungnolan và phamhungvng thích
Little Homie
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024  bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
