Đến nội dung

Hình ảnh

Một bổ để của thầy Trần Quang Hùng: Tam giác ABC tâm nội tiếp I, tâm ngoại tiếp O. M,N đối xứng của B,C qua IB,IC. X là tâm ngoại tiếp AMN.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
NMD202

NMD202

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm ngoại tiếp $O$. $M,N$ lần lượt là hai điểm đối xứng của $B,C$ tương ứng qua $IB,IC$. Gọi $X$ là tâm ngoại tiếp tam giác $AMN$. Khi đó:

a) $MN \perp OI$

b) Bán kính đường trong ngoại tiếp tam giác $AMN$ bằng $OI$

c) $A,X,I,O$ đồng viên

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NMD202: 24-02-2018 - 13:50

@NguyenMinhDuy - frTK19.LQĐ.BĐ 

Bài hình CĐT LQĐ Bình Định  https://diendantoanh...ường-thẳng-qua/


#2
NMD202

NMD202

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

attachicon.gifScreen Shot 2017-12-16 at 12.09.52 PM.png

a) $L,P$ là trung điểm $AB,AC.$ Theo định lí bốn điểm,

$(MO^2-NO^2)-(MI^2-NI^2)=(MP^2+PO^2-NL^2-LO^2)-(BI^2-CI^2)= \frac{(MC-MA)^2-(NB-NA)^2+BA^2-CA^2}{4}-(BD^2-CD^2)$

$= \frac{(2BC-AC)^2-(2BC-AB)^2+BA^2-CA^2}{4}-(BD^2-CD^2)= \frac{(2BC-2AC)2BC-(2BC-2AB)2BC}{4}-BC(BD-CD)$

$=(BC-AC)BC-(BC-AB)BC-BC(BD-CD)=BC(BC-AC-BC+AB-BD+CD)=0 \Rightarrow$ đpcm.

b) $H=(AMN) \cap (ABC), H \neq A.$

$\widehat{HNB}=180^0- \widehat{HNA}=180^0- \widehat{HMA}= \widehat{HMC}, \widehat{HBN}= \widehat{HCN}$

$\Rightarrow \Delta HNB \sim \Delta HNC.$ Mà $NB=BC=CM \Rightarrow \Delta HNB= \Delta HMC$

$\Rightarrow HB=HC,HM=HN \Rightarrow HX \perp MN,HO \perp BC.$

Theo định lí bốn điểm, $BX^2-CX^2=(BX^2-R_X^2)-(CX^2-R_X^2)=BN.BA-CM.CA=BC(BA-AC)=BC(BD-DC)=BD^2-CD^2$

$\Rightarrow XD \perp BC \Rightarrow HX \parallel OI,HO \parallel IX \Rightarrow OI=HX=R_X.$ (đpcm)

c) $HB=HC \Rightarrow HA \perp AI \Rightarrow AI \parallel XO.$ 

Ta có $AX=OI$ nên $AXOI$ là hình bình hành hoặc hình thang cân.

Nếu $AXOI$ là hình bình hành thì $A \equiv H \Rightarrow AB=AC$ vô lí, nên $AXOI$ là hình thang cân $\Rightarrow A,X,O,I$ đồng viên. (đpcm)

Bài này đã có lời giải ở đây https://diendantoanh...tâm-nội-tiếp-i/


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NMD202: 02-03-2018 - 23:35

@NguyenMinhDuy - frTK19.LQĐ.BĐ 

Bài hình CĐT LQĐ Bình Định  https://diendantoanh...ường-thẳng-qua/





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh